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2022年高考数学北京9<-->2022年高考数学北京11
（4分）在ΔABC中，AC=3，BC=4，∠C=90∘．P为ΔABC所在平面内的动点，且PC=1，则→PA⋅→PB的取值范围是( )
A．[−5，3] B．[−3，5] C．[−6，4] D．[−4，6]
分析：根据条件，建立平面直角坐标系，设P(x,y)，计算可得→PA⋅→PB=−3x−4y+1，进而可利用参数方程转化为三角函数的最值问题求解．
解答：解：在ΔABC中，AC=3，BC=4，∠C=90∘，
以C为坐标原点，CA，CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则A(3,0)，B(0,4)，C(0,0)，
设P(x,y)，
因为PC=1，
所以x2+y2=1，
又→PA=(3−x,−y)，→PB=(−x,4−y)，
所以→PA⋅→PB=−x(3−x)−y(4−y)=x2+y2−3x−4y=−3x−4y+1，
设x=cosθ，y=sinθ，
所以→PA⋅→PB=−(3cosθ+4sinθ)+1=−5sin(θ+φ)+1，其中tanφ=34，
当sin(θ+φ)=1时，→PA⋅→PB有最小值为−4，
当sin(θ+φ)=−1时，→PA⋅→PB有最大值为6，
所以→PA⋅→PB∈[−4，6]，
故选：D．
点评：本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题．
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