2021年全国甲文

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2021年高考数学甲卷-文1（5分）设集合

$M=\{1，3，5，7，9\}$ ，

$N=\{x\vert 2x>7\}$ ，则

$M\bigcap N=$ (　　)
A．

$\{7，9\}$
B．

$\{5，7，9\}$
C．

$\{3，5，7，9\}$
D．

$\{1，3，5，7，9\}$ 【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文2（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(　　)
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为

$6%$
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为

$10%$
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文3已知

$(1-i)^{2}z=3+2i$ ，则

$z=$ (　　)
A．

$-1-\dfrac{3}{2}i$ B．

$-1+\dfrac{3}{2}i$ C．

$-\dfrac{3}{2}+i$ D．

$-\dfrac{3}{2}-i$ 【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文4下列函数中是增函数的为(　　)
A．

$f(x)=-x$ B．

$f(x)=(\dfrac{2}{3})^{x}$ C．

$f(x)=x^{2}$ D．

$f(x)=\sqrt[3]{x}$ 【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文5点

$(3,0)$ 到双曲线

$\dfrac{{x}^{2}}{16}-\dfrac{{y}^{2}}{9}=1$ 的一条渐近线的距离为(　　)
A．

$\dfrac{9}{5}$ B．

$\dfrac{8}{5}$ C．

$\dfrac{6}{5}$ D．

$\dfrac{4}{5}$ 【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文6青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据

$L$ 和小数记录法的数据

$V$ 满足

$L=5+lgV$ ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(　　)

$(\sqrt[10]{10}\approx 1.259)$
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文7（5分）在一个正方体中，过顶点

$A$ 的三条棱的中点分别为

$E$ ，

$F$ ，

$G$ ．该正方体截去三棱锥

$A-EFG$ 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文8在

$\Delta ABC$ 中，已知

$B=120\circ$ ，

$AC=\sqrt{19}$ ，

$AB=2$ ，则

$BC=$ (　　)
A．1 B．

$\sqrt{2}$ C．

$\sqrt{5}$ D．3【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文9记

$S_{n}$ 为等比数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和．若

$S_{2}=4$ ，

$S_{4}=6$ ，则

$S_{6}=$ (　　)
A．7 B．8 C．9 D．10【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文10将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文11（5分）若

$\alpha \in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ，

$\tan 2\alpha =\dfrac{\cos \alpha }{2-\sin \alpha }$ ，则

$\tan \alpha =$ (　　)
A．

$\dfrac{\sqrt{15}}{15}$ B．

$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ C．

$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ D．

$\dfrac{\sqrt{15}}{3}$ 【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文12设

$f(x)$ 是定义域为

$R$ 的奇函数，且

$f(1+x)=f(-x)$ ．若

$f(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}$ ，则

$f(\dfrac{5}{3})=$ (　　)
A．

$-\dfrac{5}{3}$ B．

$-\dfrac{1}{3}$ C．

$\dfrac{1}{3}$ D．

$\dfrac{5}{3}$ 【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文13若向量

$\overrightarrow{a}$ ，

$\overrightarrow{b}$ 满足

$\vert \overrightarrow{a}\vert =3$ ，

$\vert \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\vert =5$ ，

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1$ ，则

$\vert \overrightarrow{b}\vert =$ ____．【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文14已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为

$30\pi$ ，则该圆锥的侧面积为____．【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文15已知函数

$f(x)=2\cos (\omega x+\varphi )$ 的部分图像如图所示，则

$f(\dfrac{\pi }{2})=$ ____．

【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文16已知

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ 为椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{16}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，

$P$ ，

$Q$ 为

$C$ 上关于坐标原点对称的两点，且

$\vert PQ\vert =\vert F_{1}F_{2}\vert$ ，则四边形

$PF_{1}QF_{2}$ 的面积为____．【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文17（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有

$99%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：

$K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ．

$P(K^{2}\geqslant k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文18（12分）记

$S_{n}$ 为数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，已知

$a_{n}>0$ ，

$a_{2}=3a_{1}$ ，且数列

$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 是等差数列，证明：

$\{a_{n}\}$ 是等差数列．【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文19（12分）已知直三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，侧面

$AA_{1}B_{1}B$ 为正方形，

$AB=BC=2$ ，

$E$ ，

$F$ 分别为

$AC$ 和

$CC_{1}$ 的中点，

$BF\bot A_{1}B_{1}$ ．
（1）求三棱锥

$F-EBC$ 的体积；
（2）已知

$D$ 为棱

$A_{1}B_{1}$ 上的点，证明：

$BF\bot DE$ ．

【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文20设函数

$f(x)=a^{2}x^{2}+ax-3lnx+1$ ，其中

$a>0$ ．
（1）讨论

$f(x)$ 的单调性；
（2）若

$y=f(x)$ 的图像与

$x$ 轴没有公共点，求

$a$ 的取值范围．【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文21抛物线

$C$ 的顶点为坐标原点

$O$ ，焦点在

$x$ 轴上，直线

$l:x=1$ 交

$C$ 于

$P$ ，

$Q$ 两点，且

$OP\bot OQ$ ．已知点

$M(2,0)$ ，且

$\odot M$ 与

$l$ 相切．
（1）求

$C$ ，

$\odot M$ 的方程；
（2）设

$A_{1}$ ，

$A_{2}$ ，

$A_{3}$ 是

$C$ 上的三个点，直线

$A_{1}A_{2}$ ，

$A_{1}A_{3}$ 均与

$\odot M$ 相切．判断直线

$A_{2}A_{3}$ 与

$\odot M$ 的位置关系，并说明理由．【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文22在直角坐标系

$xOy$ 中，以坐标原点为极点，

$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

$C$ 的极坐标方程为

$\rho =2\sqrt{2}\cos \theta$ ．
（1）将

$C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点

$A$ 的直角坐标为

$(1,0)$ ，

$M$ 为

$C$ 上的动点，点

$P$ 满足

$\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$ ，写出

$P$ 的轨迹

$C_{1}$ 的参数方程，并判断

$C$ 与

$C_{1}$ 是否有公共点．【答案详解】

2021年高考数学甲卷-文23（10分）已知函数

$f(x)=\vert x-2\vert$ ，

$g(x)=\vert 2x+3\vert -\vert 2x-1\vert$ ．
（1）画出

$y=f(x)$ 和

$y=g(x)$ 的图像；
（2）若

$f(x+a)\geqslant g(x)$ ，求

$a$ 的取值范围．

【答案详解】

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