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2021年高考数学甲卷-文19

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19．（12分）已知直三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，侧面

$AA_{1}B_{1}B$ 为正方形，

$AB=BC=2$ ，

$E$ ，

$F$ 分别为

$AC$ 和

$CC_{1}$ 的中点，

$BF\bot A_{1}B_{1}$ ．
（1）求三棱锥

$F-EBC$ 的体积；
（2）已知

$D$ 为棱

$A_{1}B_{1}$ 上的点，证明：

$BF\bot DE$ ．

分析：（1）先证明

$AB\bot$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ，即可得到

$AB\bot BC$ ，再根据直角三角形的性质可知

$CE=\sqrt{2}=BE$ ，最后根据三棱锥的体积公式计算即可；
（2）取

$BC$ 中点

$G$ ，连接

$EG$ ，

$B_{1}G$ ，先证明

$EG//AB//B_{1}D$ ，从而得到

$E$ 、

$G$ 、

$B_{1}$ 、

$D$ 四点共面，再由（1）及线面垂直的性质定理可得

$BF\bot EG$ ，通过角的正切值判断出

$\angle CBF=\angle BB_{1}G$ ，再通过角的代换可得，

$BF\bot B_{1}G$ ，再根据线面垂直的判定定理可得

$BF\bot$ 平面

$EGB_{1}D$ ，进而得证．
解：（1）在直三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，

$BB_{1}\bot A_{1}B_{1}$ ，
又

$BF\bot A_{1}B_{1}$ ，

$BB_{1}\bigcap BF=B$ ，

$BB_{1}$ ，

$BF\subset$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ，

$\therefore A_{1}B_{1}\bot$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ，

$\because AB//A_{1}B_{1}$ ，

$\therefore AB\bot$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ，

$\therefore AB\bot BC$ ，
又

$AB=BC$ ，故

$AC=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$ ，

$\therefore$

$CE=\sqrt{2}=BE$ ，
而侧面

$AA_{1}B_{1}B$ 为正方形，

$\therefore$

$CF=\dfrac{1}{2}C{C}_{1}=\dfrac{1}{2}AB=1$ ，

$\therefore$

$V=\dfrac{1}{3}{S}_{\Delta EBC}\cdot CF=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}\times 1=\dfrac{1}{3}$ ，即三棱锥

$F-EBC$ 的体积为

$\dfrac{1}{3}$ ；
（2）证明：如图，取

$BC$ 中点

$G$ ，连接

$EG$ ，

$B_{1}G$ ，设

$B_{1}G\bigcap BF=H$ ，

$\because$ 点

$E$ 是

$AC$ 的中点，点

$G$ 时

$BC$ 的中点，

$\therefore EG//AB$ ，

$\therefore EG//AB//B_{1}D$ ，

$\therefore E$ 、

$G$ 、

$B_{1}$ 、

$D$ 四点共面，
由（1）可得

$AB\bot$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ，

$\therefore EG\bot$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ，

$\therefore BF\bot EG$ ，

$\because$

$\tan \angle CBF=\dfrac{CF}{BC}=\dfrac{1}{2},\tan \angle B{B}_{1}G=\dfrac{BG}{B{B}_{1}}=\dfrac{1}{2}$ ，且这两个角都是锐角，

$\therefore \angle CBF=\angle BB_{1}G$ ，

$\therefore \angle BHB_{1}=\angle BGB_{1}+\angle CBF=\angle BGB_{1}+\angle BB_{1}G=90\circ$ ，

$\therefore BF\bot B_{1}G$ ，
又

$EG\bigcap B_{1}G=G$ ，

$EG$ ，

$B_{1}G\subset$ 平面

$EGB_{1}D$ ，

$\therefore BF\bot$ 平面

$EGB_{1}D$ ，
又

$DE\subset$ 平面

$EGB_{1}D$ ，

$\therefore BF\bot DE$ ．

点评：本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线，线面间的垂直关系，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．

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