2021年高考数学甲卷-文17

17．（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有

$99%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：

$K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ．

$P(K^{2}\geqslant k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

分析：（1）根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；
（2）根据

$2\times 2$ 列联表，求出

$K^{2}$ ，再将

$K^{2}$ 的值与6.635比较，即可得出结论；
解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为

$\dfrac{150}{200}=\dfrac{3}{4}$ ；
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为

$\dfrac{120}{200}=\dfrac{3}{5}$ ；
（2）根据

$2\times 2$ 列联表，可得

$K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$=\dfrac{400(150\times 80-50\times 120)^{2}}{270\times 130\times 200\times 200}\approx 10.256>6.635$ ．
所以有

$99%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
点评：本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．

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