2021年高考数学甲卷-文16

16．（5分）已知

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ 为椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{16}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，

$P$ ，

$Q$ 为

$C$ 上关于坐标原点对称的两点，且

$\vert PQ\vert =\vert F_{1}F_{2}\vert$ ，则四边形

$PF_{1}QF_{2}$ 的面积为____．
分析：判断四边形

$PF_{1}QF_{2}$ 为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可．
解：因为

$P$ ，

$Q$ 为

$C$ 上关于坐标原点对称的两点，且

$\vert PQ\vert =\vert F_{1}F_{2}\vert$ ，
所以四边形

$PF_{1}QF_{2}$ 为矩形，
设

$\vert PF_{1}\vert =m$ ，

$\vert PF_{2}\vert =n$ ，
由椭圆的定义可得

$\vert \vert PF_{1}\vert +\vert PF_{2}\vert \vert =m+n=2a=8$ ，
所以

$m^{2}+2mn+n^{2}=64$ ，
因为

$\vert PF_{1}\vert ^{2}+\vert PF_{2}\vert ^{2}=\vert F_{1}F_{2}\vert ^{2}=4c^{2}=4(a^{2}-b^{2})=48$ ，
即

$m^{2}+n^{2}=48$ ，
所以

$mn=8$ ，
所以四边形

$PF_{1}QF_{2}$ 的面积为

$\vert PF_{1}\vert \vert PF_{2}\vert =mn=8$ ．
故答案为：8．
点评：本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．

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