2021年高考数学甲卷-文23

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23．已知函数$f(x)=\vert x-2\vert$，$g(x)=\vert 2x+3\vert -\vert 2x-1\vert$．

（1）画出$y=f(x)$和$y=g(x)$的图像；

（2）若$f(x+a)\geqslant g(x)$，求$a$的取值范围．

分析：（1）通过对$x$分类讨论，写出分段函数的形式，画出图像即可得出．

（2）由图像可得：$f$（6）$=4$，$g(\dfrac{1}{2})=4$，若$f(x+a)\geqslant g(x)$，说明把函数$f(x)$的图像向左或向右平移$\vert a\vert$单位以后，$f(x)$的图像不在$g(x)$的下方，由图像观察可得出结论．

解：（1）函数$f(x)=\vert x-2\vert =\left\{\begin{array}{l}{x-2,x\geqslant 2}\\ {2-x,x<2}\end{array}\right.$，

$g(x)=\vert 2x+3\vert -\vert 2x-1\vert =\left\{\begin{array}{l}{4,x\geqslant \dfrac{1}{2}}\\ {4x+2,-\dfrac{3}{2}<x<\dfrac{1}{2}}\\ {-4,x\leqslant -\dfrac{3}{2}}\end{array}\right.$．

画出$y=f(x)$和$y=g(x)$的图像；

（2）由图像可得：$f$（6）$=4$，$g(\dfrac{1}{2})=4$，

若$f(x+a)\geqslant g(x)$，说明把函数$f(x)$的图像向左或向右平移$\vert a\vert$单位以后，$f(x)$的图像不在$g(x)$的下方，

由图像观察可得：$a\geqslant 2-\dfrac{1}{2}+4=\dfrac{11}{2}$

$\therefore a$的取值范围为$[\dfrac{11}{2}$，$+\infty )$．

点评：本题考查了分段函数的图像与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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