2021年高考数学甲卷-文11

11．（5分）若

$\alpha \in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ，

$\tan 2\alpha =\dfrac{\cos \alpha }{2-\sin \alpha }$ ，则

$\tan \alpha =$ (　　)
A．

$\dfrac{\sqrt{15}}{15}$ B．

$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ C．

$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ D．

$\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
分析：把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解

$\sin \alpha$ ，进一步求得

$\cos \alpha$ ，再由商的关系可得

$\tan \alpha$ 的值．
解：由

$\tan 2\alpha =\dfrac{\cos \alpha }{2-\sin \alpha }$ ，得

$\dfrac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\dfrac{\cos \alpha }{2-\sin \alpha }$ ，
即

$\dfrac{2\sin \alpha \cos \alpha }{1-2si{n}^{2}\alpha }=\dfrac{\cos \alpha }{2-\sin \alpha }$ ，

$\because \alpha \in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ，

$\therefore \cos \alpha \ne 0$ ，
则

$2\sin \alpha (2-\sin \alpha )=1-2\sin ^{2}\alpha$ ，解得

$\sin \alpha =\dfrac{1}{4}$ ，
则

$\cos \alpha =\sqrt{1-si{n}^{2}\alpha }=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ ，

$\therefore \tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{\sqrt{15}}{4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{15}$ ．
故选：

$A$ ．
点评：本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．

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