2021年高考数学甲卷-文18

18．（12分）记

$S_{n}$ 为数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，已知

$a_{n}>0$ ，

$a_{2}=3a_{1}$ ，且数列

$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 是等差数列，证明：

$\{a_{n}\}$ 是等差数列．
分析：设等差数列

$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 的公差为

$d$ ，可用

$\sqrt{{S}_{1}}$ 、

$\sqrt{{S}_{2}}$ 求出

$d$ ，得到

$S_{n}$ 的通项公式，利用

$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ 可求出

$a_{n}$ 的通项，从而证明

$\{a_{n}\}$ 是等差数列．
证明：设等差数列

$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 的公差为

$d$ ，
由题意得

$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}$ ；

$\sqrt{{S}_{2}}=\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}}=\sqrt{4{a}_{1}}=2\sqrt{{a}_{1}}$ ，
则

$d=\sqrt{{S}_{2}}-\sqrt{{S}_{1}}=2\sqrt{{a}_{1}}-\sqrt{{a}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}$ ，所以

$\sqrt{{S}_{n}}=\sqrt{{a}_{1}}+(n-1)\sqrt{{a}_{1}}=n\sqrt{{a}_{1}}$ ，
所以

$S_{n}=n^{2}a_{1}$ ①；
当

$n\geqslant 2$ 时，有

$S_{n-1}=(n-1)^{2}a_{1}$ ②．
由①②，得

$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}a_{1}-(n-1)^{2}a_{1}=(2n-1)a_{1}$ ③，
经检验，当

$n=1$ 时也满足③．
所以

$a_{n}=(2n-1)a_{1}$ ，

$n\in N_{+}$ ，
当

$n\geqslant 2$ 时，

$a_{n}-a_{n-1}=(2n-1)a_{1}-(2n-3)a_{1}=2a_{1}$ ，
所以数列

$\{a_{n}\}$ 是等差数列．
点评：本题考查了等差数列的概念和性质，涉及逻辑推理，数学运算等数学学科核心素养，属于中档题．

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