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2021年高考数学甲卷-文17<-->2021年高考数学甲卷-文19
18．（12分）记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，已知$a_{n}>0$，$a_{2}=3a_{1}$，且数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$是等差数列，证明：$\{a_{n}\}$是等差数列．
分析：设等差数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$的公差为$d$，可用$\sqrt{{S}_{1}}$、$\sqrt{{S}_{2}}$求出$d$，得到$S_{n}$的通项公式，利用$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$可求出$a_{n}$的通项，从而证明$\{a_{n}\}$是等差数列．
证明：设等差数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$的公差为$d$，
由题意得$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}$；$\sqrt{{S}_{2}}=\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}}=\sqrt{4{a}_{1}}=2\sqrt{{a}_{1}}$，
则$d=\sqrt{{S}_{2}}-\sqrt{{S}_{1}}=2\sqrt{{a}_{1}}-\sqrt{{a}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}$，所以$\sqrt{{S}_{n}}=\sqrt{{a}_{1}}+(n-1)\sqrt{{a}_{1}}=n\sqrt{{a}_{1}}$，
所以$S_{n}=n^{2}a_{1}$①；
当$n\geqslant 2$时，有$S_{n-1}=(n-1)^{2}a_{1}$②．
由①②，得$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}a_{1}-(n-1)^{2}a_{1}=(2n-1)a_{1}$③，
经检验，当$n=1$时也满足③．
所以$a_{n}=(2n-1)a_{1}$，$n\in N_{+}$，
当$n\geqslant 2$时，$a_{n}-a_{n-1}=(2n-1)a_{1}-(2n-3)a_{1}=2a_{1}$，
所以数列$\{a_{n}\}$是等差数列．
点评：本题考查了等差数列的概念和性质，涉及逻辑推理，数学运算等数学学科核心素养，属于中档题．
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