2021年全国甲理

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2021年高考数学甲卷-理1（5分）设集合

$M=\{x\vert 0< x <4\}$ ，

$N=\{x\vert \dfrac{1}{3}\leqslant x\leqslant 5\}$ ，则

$M\bigcap N=$ (　　)
A．

$\{x\vert 0< x\leqslant \dfrac{1}{3}\}$
B．

$\{x\vert \dfrac{1}{3}\leqslant x<4\}$
C．

$\{x\vert 4\leqslant x <5\}$
D．

$\{x\vert 0< x\leqslant 5\}$ 【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理25分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(　　)
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为

$6%$
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为

$10%$
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理3已知

$(1-i)^{2}z=3+2i$ ，则

$z=$ (　　)
A．

$-1-\dfrac{3}{2}i$
B．

$-1+\dfrac{3}{2}i$
C．

$-\dfrac{3}{2}+i$
D．

$-\dfrac{3}{2}-i$ 【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理4（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据

$L$ 和小数记录法的数据

$V$ 满足

$L=5+lgV$ ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(　　)

$(\sqrt[10]{10}\approx 1.259)$
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理5

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ 是双曲线

$C$ 的两个焦点，

$P$ 为

$C$ 上一点，且

$\angle F_{1}PF_{2}=60^\circ$ ，

$\vert PF_{1}\vert =3\vert PF_{2}\vert$ ，则

$C$ 的离心率为(　　)
A．

$\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ B．

$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$ C．

$\sqrt{7}$ D．

$\sqrt{13}$ 【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理6（5分）在一个正方体中，过顶点

$A$ 的三条棱的中点分别为

$E$ ，

$F$ ，

$G$ ．该正方体截去三棱锥

$A-EFG$ 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理7等比数列

$\{a_{n}\}$ 的公比为

$q$ ，前

$n$ 项和为

$S_{n}$ ．设甲：

$q>0$ ，乙：

$\{S_{n}\}$ 是递增数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理8（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：

$m)$ ，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 三点，且

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 在同一水平面上的投影

$A'$ ，

$B'$ ，

$C'$ 满足

$\angle A'C'B'=45\circ$ ，

$\angle A'B'C'=60\circ$ ．由

$C$ 点测得

$B$ 点的仰角为

$15\circ$ ，

$BB'$ 与

$CC'$ 的差为100；由

$B$ 点测得

$A$ 点的仰角为

$45\circ$ ，则

$A$ ，

$C$ 两点到水平面

$A'B'C'$ 的高度差

$AA'-CC'$ 约为(　　)

$(\sqrt{3}\approx 1.732)$

A．346 B．373 C．446 D．473【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理9（5分）若

$\alpha \in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ，

$\tan 2\alpha =\dfrac{\cos \alpha }{2-\sin \alpha }$ ，则

$\tan \alpha =$ (　　)
A．

$\dfrac{\sqrt{15}}{15}$
B．

$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
C．

$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
D．

$\dfrac{\sqrt{15}}{3}$ 【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理10（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)
A．

$\dfrac{1}{3}$
B．

$\dfrac{2}{5}$
C．

$\dfrac{2}{3}$
D．

$\dfrac{4}{5}$ 【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理11已知

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 是半径为1的球

$O$ 的球面上的三个点，且

$AC\bot BC$ ，

$AC=BC=1$ ，则三棱锥

$O-ABC$ 的体积为(　　)
A．

$\dfrac{\sqrt{2}}{12}$ B．

$\dfrac{\sqrt{3}}{12}$ C．

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ D．

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ 【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理12（5分）设函数

$f(x)$ 的定义域为

$R$ ，

$f(x+1)$ 为奇函数，

$f(x+2)$ 为偶函数，当

$x\in [1$ ，

$2]$ 时，

$f(x)=ax^{2}+b$ ．若

$f(0)+f$ （3）

$=6$ ，则

$f(\dfrac{9}{2})=($ 　　

$)$
A．

$-\dfrac{9}{4}$
B．

$-\dfrac{3}{2}$
C．

$\dfrac{7}{4}$
D．

$\dfrac{5}{2}$ 【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理1313．（5分）曲线

$y=\dfrac{2x-1}{x+2}$ 在点

$(-1,-3)$ 处的切线方程为____．
【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理14已知向量

$\overrightarrow{a}=(3,1)$ ，

$\overrightarrow{b}=(1,0)$ ，

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$ ．若

$\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{c}$ ，则

$k=$ ____【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理15已知

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ 为椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{16}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，

$P$ ，

$Q$ 为

$C$ 上关于坐标原点对称的两点，且

$\vert PQ\vert =\vert F_{1}F_{2}\vert$ ，则四边形

$PF_{1}QF_{2}$ 的面积为______【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理16已知函数

$f(x)=2\cos (\omega x+\varphi )$ 的部分图像如图所示，则满足条件

$(f(x)-f(-\dfrac{7\pi }{4}))(f(x)-f(\dfrac{4\pi }{3}))>0$ 的最小正整数

$x$ 为______．【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理17（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有

$99%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：

$K^{2}=\dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ．

$P(K^{2}\geqslant k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理18（12分）已知数列

$\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，记

$S_{n}$ 为

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列

$\{a_{n}\}$ 是等差数列；②数列

$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 是等差数列；③

$a_{2}=3a_{1}$ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理19（12分）已知直三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，侧面

$AA_{1}B_{1}B$ 为正方形，

$AB=BC=2$ ，

$E$ ，

$F$ 分别为

$AC$ 和

$CC_{1}$ 的中点，

$D$ 为棱

$A_{1}B_{1}$ 上的点，

$BF\bot A_{1}B_{1}$ ．

（1）证明：

$BF\bot DE$ ；

（2）当

$B_{1}D$ 为何值时，面

$BB_{1}C_{1}C$ 与面

$DFE$ 所成的二面角的正弦值最小？【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理20抛物线

$C$ 的顶点为坐标原点

$O$ ，焦点在

$x$ 轴上，直线

$l:x=1$ 交

$C$ 于

$P$ ，

$Q$ 两点，且

$OP\bot OQ$ ．已知点

$M(2,0)$ ，且

$\odot M$ 与

$l$ 相切．
（1）求

$C$ ，

$\odot M$ 的方程；
（2）设

$A_{1}$ ，

$A_{2}$ ，

$A_{3}$ 是

$C$ 上的三个点，直线

$A_{1}A_{2}$ ，

$A_{1}A_{3}$ 均与

$\odot M$ 相切．判断直线

$A_{2}A_{3}$ 与

$\odot M$ 的位置关系，并说明理由．【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理21已知

$a>0$ 且

$a\ne 1$ ，函数

$f(x)=\dfrac{{x}^{a}}{{a}^{x}}$

$(x>0)$ ．
（1）当

$a=2$ 时，求

$f(x)$ 的单调区间；
（2）若曲线

$y=f(x)$ 与直线

$y=1$ 有且仅有两个交点，求

$a$ 的取值范围．【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理22在直角坐标系

$xOy$ 中，以坐标原点为极点，

$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

$C$ 的极坐标方程为

$\rho =2\sqrt{2}\cos \theta$ ．
（1）将

$C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点

$A$ 的直角坐标为

$(1,0)$ ，

$M$ 为

$C$ 上的动点，点

$P$ 满足

$\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$ ，写出

$P$ 的轨迹

$C_{1}$ 的参数方程，并判断

$C$ 与

$C_{1}$ 是否有公共点．【答案详解】

2021年高考数学甲卷-理23已知函数

$f(x)=\vert x-2\vert$ ，

$g(x)=\vert 2x+3\vert -\vert 2x-1\vert$ ．
（1）画出

$y=f(x)$ 和

$y=g(x)$ 的图像；
（2）若

$f(x+a)\geqslant g(x)$ ，求

$a$ 的取值范围．

【答案详解】

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