2021年高考数学甲卷-理7

7．（5分）等比数列

$\{a_{n}\}$ 的公比为

$q$ ，前

$n$ 项和为

$S_{n}$ ．设甲：

$q>0$ ，乙：

$\{S_{n}\}$ 是递增数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
分析：根据等比数列的求和公式和充分条件和必要条件的定义即可求出．
解：若

$a_{1}=-1$ ，

$q=1$ ，则

$S_{n}=na_{1}=-n$ ，则

$\{S_{n}\}$ 是递减数列，不满足充分性；

$\because S_{n}=\dfrac{{a}_{1}}{1-q}(1-q^{n})$ ，
则

$S_{n+1}=\dfrac{{a}_{1}}{1-q}(1-q^{n+1})$ ，

$\therefore S_{n+1}-S_{n}=\dfrac{{a}_{1}}{1-q}(q^{n}-q^{n+1})=a_{1}q^{n}$ ，
若

$\{S_{n}\}$ 是递增数列，

$\therefore S_{n+1}-S_{n}=a_{1}q^{n}>0$ ，
则

$a_{1}>0$ ，

$q>0$ ，

$\therefore$ 满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选：

$B$ ．
点评：本题主要考查数列的函数特性，充分条件和必要条件，属于中档题．

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