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2021年高考数学甲卷-理21

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21．（12分）已知

$a>0$ 且

$a\ne 1$ ，函数

$f(x)=\dfrac{{x}^{a}}{{a}^{x}}$

$(x>0)$ ．
（1）当

$a=2$ 时，求

$f(x)$ 的单调区间；
（2）若曲线

$y=f(x)$ 与直线

$y=1$ 有且仅有两个交点，求

$a$ 的取值范围．
分析：（1）求出

$a=2$ 时

$f(x)$ 的解析式，求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
（2）将已知转化为

$f(x)=1$ 在

$(0,+\infty )$ 有两个不等实根，变形可得

$\dfrac{lnx}{x}=\dfrac{lna}{a}$ ，令

$g(x)=\dfrac{lnx}{x}$ ，利用导数求出

$g(x)$ 的单调性及

$g(x)$ 的大致图象，即可求解

$a$ 的取值范围．
解：（1）

$a=2$ 时，

$f(x)=\dfrac{{x}^{2}}{{2}^{x}}$ ，

$f\prime (x)=\dfrac{2x\cdot {2}^{x}-{2}^{x}ln2\cdot {x}^{2}}{({2}^{x})^{2}}=\dfrac{x(2-xln2)}{{2}^{x}}=\dfrac{ln2\cdot x(\dfrac{2}{ln2}-x)}{{2}^{x}}$ ，
当

$x\in (0,\dfrac{2}{ln2})$ 时，

$f\prime (x)>0$ ，当

$x\in (\dfrac{2}{ln2}$ ，

$+\infty )$ 时，

$f\prime (x)<0$ ，
故

$f(x)$ 在

$(0,\dfrac{2}{ln2})$ 上单调递增，在

$(\dfrac{2}{ln2}$ ，

$+\infty )$ 上单调递减．
（2）由题知

$f(x)=1$ 在

$(0,+\infty )$ 有两个不等实根，

$f(x)=1\Harr x^{a}=a^{x}\Harr alnx=xlna\Harr \dfrac{lnx}{x}=\dfrac{lna}{a}$ ，
令

$g(x)=\dfrac{lnx}{x}$ ，

$g\prime (x)=\dfrac{1-lnx}{{x}^{2}}$ ，

$g(x)$ 在

$(0,e)$ 上单调递增，在

$(e,+\infty )$ 上单调递减，
又

$\lim\limits_{x\rarr 0}g(x)=-\infty$ ，

$g$ （e）

$=\dfrac{1}{e}$ ，

$g$ （1）

$=0$ ，

$\lim\limits_{x\rarr +\infty }g(x)=0$ ，
作出

$g(x)$ 的图象，如图所示：

由图象可得

$0<\dfrac{lna}{a}<\dfrac{1}{e}$ ，解得

$a>1$ 且

$a\ne e$ ，
即

$a$ 的取值范围是

$(1$ ，

$e)\bigcup (e$ ，

$+\infty )$ ．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．

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