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2021年高考数学甲卷-理22

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[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系

$xOy$ 中，以坐标原点为极点，

$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

$C$ 的极坐标方程为

$\rho =2\sqrt{2}\cos \theta$ ．
（1）将

$C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点

$A$ 的直角坐标为

$(1,0)$ ，

$M$ 为

$C$ 上的动点，点

$P$ 满足

$\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$ ，写出

$P$ 的轨迹

$C_{1}$ 的参数方程，并判断

$C$ 与

$C_{1}$ 是否有公共点．
分析：（1）把极坐标方程化为

$\rho ^{2}=2\sqrt{2}\rho \cos \theta$ ，写出直角坐标方程即可；
（2）设点

$P$ 的直角坐标为

$(x,y)$ ，

$M(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，利用

$\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$ 求出点

$M$ 的坐标，代入

$C$ 的方程化简得出点

$P$ 的轨迹方程，再化为参数方程，计算

$\vert CC_{1}\vert$ 的值即可判断

$C$ 与

$C_{1}$ 是否有公共点．
解：（1）由极坐标方程为

$\rho =2\sqrt{2}\cos \theta$ ，得

$\rho ^{2}=2\sqrt{2}\rho \cos \theta$ ，
化为直角坐标方程是

$x^{2}+y^{2}=2\sqrt{2}x$ ，
即

${(x-\sqrt{2})}^{2}+y^{2}=2$ ，表示圆心为

$C(\sqrt{2}$ ，

$0)$ ，半径为

$\sqrt{2}$ 的圆．
（2）设点

$P$ 的直角坐标为

$(x,y)$ ，

$M(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，因为

$A(1,0)$ ，
所以

$\overrightarrow{AP}=(x-1,y)$ ，

$\overrightarrow{AM}=(x_{1}-1$ ，

$y_{1})$ ，
由

$\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$ ，
即

$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\sqrt{2}{(x}_{1}-1)}\\ {y={\sqrt{2}y}_{1}}\end{array}\right.$ ，
解得

$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-1)+1}\\ {{y}_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x}\end{array}\right.$ ，
所以

$M(\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-1)+1$ ，

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}y)$ ，代入

$C$ 的方程得

${[\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-1)+1-\sqrt{2}]}^{2}+{(\dfrac{\sqrt{2}}{2}y)}^{2}=2$ ，
化简得点

$P$ 的轨迹方程是

${(x-3+\sqrt{2})}^{2}+y^{2}=4$ ，表示圆心为

$C_{1}(3-\sqrt{2}$ ，

$0)$ ，半径为2 的圆；
化为参数方程是

$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\sqrt{2}+2\cos \theta }\\ {y=2\sin \theta }\end{array}\right.$ ，

$\theta$ 为参数；
计算

$\vert CC_{1}\vert =\vert (3-\sqrt{2})-\sqrt{2}\vert =3-2\sqrt{2}<2-\sqrt{2}$ ，
所以圆

$C$ 与圆

$C_{1}$ 内含，没有公共点．
点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了转化思想与运算求解能力，是中档题．

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