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2021年高考数学甲卷-理7<-->2021年高考数学甲卷-理9
8．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：$m)$，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有$A$，$B$，$C$三点，且$A$，$B$，$C$在同一水平面上的投影$A'$，$B'$，$C'$满足$\angle A'C'B'=45\circ$，$\angle A'B'C'=60\circ$．由$C$点测得$B$点的仰角为$15\circ$，$BB'$与$CC'$的差为100；由$B$点测得$A$点的仰角为$45\circ$，则$A$，$C$两点到水平面$A'B'C'$的高度差$AA'-CC'$约为( )$(\sqrt{3}\approx 1.732)$
A．346 B．373 C．446 D．473
分析：本题要注意各个三角形不共面，在每个三角形中利用正弦定理求边长，进而找到高度差．
解：过$C$作$CH\bot BB\prime$于$H$，过$B$作$BM\bot AA\prime$于$M$，
则$\angle BCH=15\circ$，$BH=100$，$\angle ABM=45\circ$，$CH=C\prime B\prime$，$A\prime B\prime =BM=AM$，$BB\prime =MA\prime$，$\angle C\prime A\prime B\prime =75\circ$
$\therefore \tan \angle BCH=\tan 15\circ =\tan (45\circ -30\circ )=\dfrac{\tan 45\circ -\tan 30\circ }{1+\tan 45\circ \tan 30\circ }=2-\sqrt{3}$，$\sin 75\circ =\sin (45\circ +30\circ )=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2})$
则在$\rm{Rt}\Delta BCH$中，$CH=\dfrac{BH}{\tan \angle BCH}=100(2+\sqrt{3})$，$\therefore C\prime B\prime =100(2+\sqrt{3})$
在△$A\prime B\prime C\prime$中，由正弦定理知，$A\prime B\prime =\dfrac{C\prime B\prime }{\sin \angle C\prime A\prime B\prime }\cdot \sin \angle A\prime C\prime B\prime =100(\sqrt{3}+1)$，$\therefore AM=100(\sqrt{3}+1)$，
$\therefore AA\prime -CC\prime =AM+BH=100(\sqrt{3}+1)+100\approx 373$，
故选：$B$．
点评：理解仰角的概念，各个三角形不共面，因此做好辅助线是关键．
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