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2021年高考数学甲卷-理23

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[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数

$f(x)=\vert x-2\vert$ ，

$g(x)=\vert 2x+3\vert -\vert 2x-1\vert$ ．
（1）画出

$y=f(x)$ 和

$y=g(x)$ 的图像；
（2）若

$f(x+a)\geqslant g(x)$ ，求

$a$ 的取值范围．

分析：（1）通过对

$x$ 分类讨论，写出分段函数的形式，画出图像即可得出．
（2）由图像可得：

$f$ （6）

$=4$ ，

$g(\dfrac{1}{2})=4$ ，若

$f(x+a)\geqslant g(x)$ ，说明把函数

$f(x)$ 的图像向左或向右平移

$\vert a\vert$ 单位以后，

$f(x)$ 的图像不在

$g(x)$ 的下方，由图像观察可得出结论．
解：（1）函数

$f(x)=\vert x-2\vert =\left\{\begin{array}{l}{x-2,x\geqslant 2}\\ {2-x,x<2}\end{array}\right.$ ，

$g(x)=\vert 2x+3\vert -\vert 2x-1\vert =\left\{\begin{array}{l}{4,x\geqslant \dfrac{1}{2}}\\ {4x+2,-\dfrac{3}{2}<x<\dfrac{1}{2}}\\ {-4,x\leqslant -\dfrac{3}{2}}\end{array}\right.$ ．
画出

$y=f(x)$ 和

$y=g(x)$ 的图像；

（2）由图像可得：

$f$ （6）

$=4$ ，

$g(\dfrac{1}{2})=4$ ，
若

$f(x+a)\geqslant g(x)$ ，说明把函数

$f(x)$ 的图像向左或向右平移

$\vert a\vert$ 单位以后，

$f(x)$ 的图像不在

$g(x)$ 的下方，
由图像观察可得：

$a\geqslant 2-\dfrac{1}{2}+4=\dfrac{11}{2}$

$\therefore a$ 的取值范围为

$[\dfrac{11}{2}$ ，

$+\infty )$ ．

点评：本题考查了分段函数的图像与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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