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2021年高考数学甲卷-理18

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18．（12分）已知数列

$\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，记

$S_{n}$ 为

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列

$\{a_{n}\}$ 是等差数列；②数列

$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 是等差数列；③

$a_{2}=3a_{1}$ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
分析：首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前

$n$ 项和公式证明结论即可．
解：选择①③为条件，②结论．
证明过程如下：
由题意可得：

$a_{2}=a_{1}+d=3a_{1}$ ，

$\therefore d=2a_{1}$ ，
数列的前

$n$ 项和：

${S}_{n}=n{a}_{1}+\dfrac{n(n?1)}{2}d=n{a}_{1}+\dfrac{n(n?1)}{2}\times 2{a}_{1}={n}^{2}{a}_{1}$ ，
故

$\sqrt{{S}_{n}}?\sqrt{{S}_{n?1}}=n\sqrt{{a}_{1}}?(n?1)\sqrt{{a}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}(n\geqslant 2)$ ，
据此可得数列

$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 是等差数列．
选择①②为条件，③结论：
设数列

$\{a_{n}\}$ 的公差为

$d$ ，则：

$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}},\sqrt{{S}_{2}}=\sqrt{{a}_{1}+({a}_{1}+d)}=\sqrt{2{a}_{1}+d},\sqrt{{S}_{3}}=\sqrt{{a}_{1}+({a}_{1}+d)+({a}_{1}+2d)}=\sqrt{3({a}_{1}+d)}$ ，
数列

$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 为等差数列，则：

$\sqrt{{S}_{1}}+\sqrt{{S}_{3}}=2\sqrt{{S}_{2}}$ ，
即：

${(\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{3({a}_{1}+d)})}^{2}={(2\sqrt{2{a}_{1}+d})}^{2}$ ，整理可得：

$d=2a_{1}$ ，

$\therefore a_{2}=a_{1}+d=3a_{1}$ ．
选择③②为条件，①结论：
由题意可得：

$S_{2}=a_{1}+a_{2}=4a_{1}$ ，

$\therefore$

$\sqrt{{S}_{2}}=2\sqrt{{a}_{1}}$ ，
则数列

$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$ 的公差为

$d=\sqrt{{S}_{2}}?\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}$ ，
通项公式为：

$\sqrt{{S}_{n}}=\sqrt{{S}_{1}}+(n?1)d=n\sqrt{{a}_{1}}$ ，
据此可得，当

$n\geqslant 2$ 时，

${a}_{n}={S}_{n}?{S}_{n?1}={n}^{2}{a}_{1}?{(n?1)}^{2}{a}_{1}=(2n?1){a}_{1}$ ，
当

$n=1$ 时上式也成立，故数列的通项公式为：

$a_{n}=(2n?1)a_{1}$ ，
由

$a_{n+1}?a_{n}=[2(n+1)?1]a_{1}?(2n?1)a_{1}=2a_{1}$ ，可知数列

$\{a_{n}\}$ 是等差数列．
点评：本题主要考查等差数列的判定与证明，等差数列的通项公式，等差数列的前

$n$ 项和公式等知识，属于中等题．

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