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2021年高考数学甲卷-理12

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12．（5分）设函数

$f(x)$ 的定义域为

$R$ ，

$f(x+1)$ 为奇函数，

$f(x+2)$ 为偶函数，当

$x\in [1$ ，

$2]$ 时，

$f(x)=ax^{2}+b$ ．若

$f(0)+f$ （3）

$=6$ ，则

$f(\dfrac{9}{2})=($ 　　

$)$
A．

$-\dfrac{9}{4}$ B．

$-\dfrac{3}{2}$ C．

$\dfrac{7}{4}$ D．

$\dfrac{5}{2}$
分析：由

$f(x+1)$ 为奇函数，

$f(x+2)$ 为偶函数，可求得

$f(x)$ 的周期为4，由

$f(x+1)$ 为奇函数，可得

$f$ （1）

$=0$ ，结合

$f(0)+f$ （3）

$=6$ ，可求得

$a$ ，

$b$ 的值，从而得到

$x\in [1$ ，

$2]$ 时，

$f(x)$ 的解析式，再利用周期性可得

$f(\dfrac{9}{2})=f(\dfrac{1}{2})=-f(\dfrac{3}{2})$ ，进一步求出

$f(\dfrac{9}{2})$ 的值．
解：

$\because f(x+1)$ 为奇函数，

$\therefore f$ （1）

$=0$ ，且

$f(x+1)=-f(-x+1)$ ，

$\because f(x+2)$ 偶函数，

$\therefore f(x+2)=f(-x+2)$ ，

$\therefore f[(x+1)+1]=-f[-(x+1)+1]=-f(-x)$ ，即

$f(x+2)=-f(-x)$ ，

$\therefore f(-x+2)=f(x+2)=-f(-x)$ ．
令

$t=-x$ ，则

$f(t+2)=-f(t)$ ，

$\therefore f(t+4)=-f(t+2)=f(t)$ ，

$\therefore f(x+4)=f(x)$ ．
当

$x\in [1$ ，

$2]$ 时，

$f(x)=ax^{2}+b$ ．

$f(0)=f(-1+1)=-f$ （2）

$=-4a-b$ ，

$f$ （3）

$=f(1+2)=f(-1+2)=f$ （1）

$=a+b$ ，
又

$f(0)+f$ （3）

$=6$ ，

$\therefore -3a=6$ ，解得

$a=-2$ ，

$\because f$ （1）

$=a+b=0$ ，

$\therefore b=-a=2$ ，

$\therefore$ 当

$x\in [1$ ，

$2]$ 时，

$f(x)=-2x^{2}+2$ ，

$\therefore f(\dfrac{9}{2})=f(\dfrac{1}{2})=-f(\dfrac{3}{2})=-(-2\times \dfrac{9}{4}+2)=\dfrac{5}{2}$ ．
故选：

$D$ ．
点评：本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．

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