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2021年高考数学甲卷-理11<-->2021年高考数学甲卷-理13
12．（5分）设函数$f(x)$的定义域为$R$，$f(x+1)$为奇函数，$f(x+2)$为偶函数，当$x\in [1$，$2]$时，$f(x)=ax^{2}+b$．若$f(0)+f$（3）$=6$，则$f(\dfrac{9}{2})=($ $)$
A．$-\dfrac{9}{4}$ B．$-\dfrac{3}{2}$ C．$\dfrac{7}{4}$ D．$\dfrac{5}{2}$
分析：由$f(x+1)$为奇函数，$f(x+2)$为偶函数，可求得$f(x)$的周期为4，由$f(x+1)$为奇函数，可得$f$（1）$=0$，结合$f(0)+f$（3）$=6$，可求得$a$，$b$的值，从而得到$x\in [1$，$2]$时，$f(x)$的解析式，再利用周期性可得$f(\dfrac{9}{2})=f(\dfrac{1}{2})=-f(\dfrac{3}{2})$，进一步求出$f(\dfrac{9}{2})$的值．
解：$\because f(x+1)$为奇函数，$\therefore f$（1）$=0$，且$f(x+1)=-f(-x+1)$，
$\because f(x+2)$偶函数，$\therefore f(x+2)=f(-x+2)$，
$\therefore f[(x+1)+1]=-f[-(x+1)+1]=-f(-x)$，即$f(x+2)=-f(-x)$，
$\therefore f(-x+2)=f(x+2)=-f(-x)$．
令$t=-x$，则$f(t+2)=-f(t)$，
$\therefore f(t+4)=-f(t+2)=f(t)$，$\therefore f(x+4)=f(x)$．
当$x\in [1$，$2]$时，$f(x)=ax^{2}+b$．
$f(0)=f(-1+1)=-f$（2）$=-4a-b$，
$f$（3）$=f(1+2)=f(-1+2)=f$（1）$=a+b$，
又$f(0)+f$（3）$=6$，$\therefore -3a=6$，解得$a=-2$，
$\because f$（1）$=a+b=0$，$\therefore b=-a=2$，
$\therefore$当$x\in [1$，$2]$时，$f(x)=-2x^{2}+2$，
$\therefore f(\dfrac{9}{2})=f(\dfrac{1}{2})=-f(\dfrac{3}{2})=-(-2\times \dfrac{9}{4}+2)=\dfrac{5}{2}$．
故选：$D$．
点评：本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
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