2021年高考数学甲卷-理16

16．（5分）已知函数

$f(x)=2\cos (\omega x+\varphi )$ 的部分图像如图所示，则满足条件

$(f(x)-f(-\dfrac{7\pi }{4}))(f(x)-f(\dfrac{4\pi }{3}))>0$ 的最小正整数

$x$ 为______．

分析：观察图像，

$\dfrac{3}{4}T=\dfrac{13\pi }{12}-\dfrac{\pi }{3}$ ，即周期为

$\pi$ ，将需要求解的式子进行周期变换，变换到

$\dfrac{\pi }{3}$ 附近，观察图像可知

$x>\dfrac{\pi }{3}$ ，即最小正整数为2．
解：由图像可得

$\dfrac{3}{4}T=\dfrac{13}{12}\pi -\dfrac{\pi }{3}$ ，即周期为

$\pi$ ，

$\because$

$(f(x)-f(-\dfrac{7\pi }{4}))((f(x)-f(\dfrac{4\pi }{3}))>0$ ，

$T=\pi$ ，

$\therefore$

$(f(x)-f(\dfrac{\pi }{4}))(f(x)-f(\dfrac{\pi }{3}))>0$ ，
观察图像可知当

$x>\dfrac{\pi }{3}$ ，

$f(x)<f(\dfrac{\pi }{4})$ ，

$f(x)<f(\dfrac{\pi }{3})$ ，

$\because 2\in (\dfrac{\pi }{3},\dfrac{5\pi }{6})$ ，且

$f(\dfrac{5\pi }{6})=0$ ，

$\therefore x=2$ 时最小，且满足题意，
故答案为：2．
点评：该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数值的大小，题型灵活，属于中等题．

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