2021年高考数学甲卷-理5

5．（5分）已知

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ 是双曲线

$C$ 的两个焦点，

$P$ 为

$C$ 上一点，且

$\angle F_{1}PF_{2}=60^\circ$ ，

$\vert PF_{1}\vert =3\vert PF_{2}\vert$ ，则

$C$ 的离心率为(　　)
A．

$\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ B．

$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$ C．

$\sqrt{7}$ D．

$\sqrt{13}$
分析：设出

$\vert PF_{1}\vert =3m$ ，

$\vert PF_{2}\vert =m$ ，由双曲线的定义可得

$m=a$ ，再通过

$\angle F_{1}PF_{2}=60\circ$ ，由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率．
解：

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ 为双曲线

$C$ 的两个焦点，

$P$ 是

$C$ 上的一点，

$\vert PF_{1}\vert =3\vert PF_{2}\vert$ ，
设

$\vert PF_{1}\vert =3m$ ，

$\vert PF_{2}\vert =m$ ，由双曲线的定义可得

$\vert PF_{1}\vert -\vert PF_{2}\vert =2m=2a$ ，即

$m=a$ ，
所以

$\vert PF_{1}\vert =3a$ ，

$\vert PF_{2}\vert =a$ ，因为

$\angle F_{1}PF_{2}=60^\circ$ ，

$\vert F_{1}F_{2}\vert =2c$ ，
所以

$4c^{2}=9a^{2}+a^{2}-2\times 3a\times a\times \cos 60^\circ$ ，整理得

$4c^{2}=7a^{2}$ ，
所以

$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ ．
故选：A．
点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查方程思想、转化思想与运算求解能力，属于中档题．

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