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2021年高考数学甲卷-理4<-->2021年高考数学甲卷-理6
5．（5分）已知$F_{1}$，$F_{2}$是双曲线$C$的两个焦点，$P$为$C$上一点，且$\angle F_{1}PF_{2}=60^\circ$，$\vert PF_{1}\vert =3\vert PF_{2}\vert$，则$C$的离心率为( )
A．$\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ B．$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$ C．$\sqrt{7}$ D．$\sqrt{13}$
分析：设出$\vert PF_{1}\vert =3m$，$\vert PF_{2}\vert =m$，由双曲线的定义可得$m=a$，再通过$\angle F_{1}PF_{2}=60\circ$，由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率．
解：$F_{1}$，$F_{2}$为双曲线$C$的两个焦点，$P$是$C$上的一点，$\vert PF_{1}\vert =3\vert PF_{2}\vert$，
设$\vert PF_{1}\vert =3m$，$\vert PF_{2}\vert =m$，由双曲线的定义可得$\vert PF_{1}\vert -\vert PF_{2}\vert =2m=2a$，即$m=a$，
所以$\vert PF_{1}\vert =3a$，$\vert PF_{2}\vert =a$，因为$\angle F_{1}PF_{2}=60^\circ$，$\vert F_{1}F_{2}\vert =2c$，
所以$4c^{2}=9a^{2}+a^{2}-2\times 3a\times a\times \cos 60^\circ$，整理得$4c^{2}=7a^{2}$，
所以$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$．
故选：A．
点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查方程思想、转化思想与运算求解能力，属于中档题．
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