2023年高考数学上海21（18分）已知$f(x)=\ln x$，在该函数图像$\Gamma$上取一点$a_{1}$，过点$(a_{1}$，$f(a_{1}))$做函数$f(x)$的切线，该切线与$y$轴的交点记作$(0,a_{2})$，若$a_{2} > 0$，则过点$(a_{2}$，$f(a_{2}))$做函数$f(x)$的切线，该切线与$y$轴的交点记作$(0,a_{3})$，以此类推$a_{3}$，$a_{4}$，$\dotsb$，直至$a_{m}\leqslant 0$停止，由这些项构成数列$\{a_{n}\}$．
（1）设$a_{m}(m\geqslant 2)$属于数列$\{a_{n}\}$，证明：$a_{m}=\ln a_{m-1}-1$；
（2）试比较$a_{m}$与$a_{m-1}-2$的大小关系；
（3）若正整数$k\geqslant 3$，是否存在$k$使得$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$、$\dotsb$、$a_{k}$依次成等差数列？若存在，求出$k$的所有取值；若不存在，请说明理由．【答案详解】 |
