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2023年高考数学上海15<-->2023年高考数学上海17
（5分）已知$P$，$Q$是曲线$\Gamma$上两点，若存在$M$点，使得曲线$\Gamma$上任意一点$P$都存在$Q$使得$\vert MP\vert \cdot \vert MQ\vert =1$，则称曲线$\Gamma$是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则$($ $)$
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
答案：$B$
分析：根据定义结合图象，验证$\vert MP\vert \cdot \vert MQ\vert =1$是否恒成立即可．
解：$\because$椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的$M$点，使得$\vert MP\vert \cdot \vert MQ\vert =1$成立，故①正确，
在双曲线中，$\vert PM\vert _{max}\rightarrow +\infty$，而$\vert QM\vert _{min}$是个固定值，则无法对任意的$P\in C$，都存在$Q\in C$，使得$\vert PM\vert \vert QM\vert =1$，故②错误．
故选：$B$．
点评：本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证$\vert MP\vert \cdot \vert MQ\vert =1$是否成立是解决本题的关键，是中档题．
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