2023年高考数学上海16

（5分）已知

$P$ ，

$Q$ 是曲线

$\Gamma$ 上两点，若存在

$M$ 点，使得曲线

$\Gamma$ 上任意一点

$P$ 都存在

$Q$ 使得

$\vert MP\vert \cdot \vert MQ\vert =1$ ，则称曲线

$\Gamma$ 是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则

$($ 　　

$)$
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
答案：

$B$
分析：根据定义结合图象，验证

$\vert MP\vert \cdot \vert MQ\vert =1$ 是否恒成立即可．
解：

$\because$ 椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的

$M$ 点，使得

$\vert MP\vert \cdot \vert MQ\vert =1$ 成立，故①正确，
在双曲线中，

$\vert PM\vert _{max}\rightarrow +\infty$ ，而

$\vert QM\vert _{min}$ 是个固定值，则无法对任意的

$P\in C$ ，都存在

$Q\in C$ ，使得

$\vert PM\vert \vert QM\vert =1$ ，故②错误．
故选：

$B$ ．
点评：本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证

$\vert MP\vert \cdot \vert MQ\vert =1$ 是否成立是解决本题的关键，是中档题．

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