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（18分）已知$f(x)=\ln x$，在该函数图像$\Gamma$上取一点$a_{1}$，过点$(a_{1}$，$f(a_{1}))$做函数$f(x)$的切线，该切线与$y$轴的交点记作$(0,a_{2})$，若$a_{2} > 0$，则过点$(a_{2}$，$f(a_{2}))$做函数$f(x)$的切线，该切线与$y$轴的交点记作$(0,a_{3})$，以此类推$a_{3}$，$a_{4}$，$\dotsb$，直至$a_{m}\leqslant 0$停止，由这些项构成数列$\{a_{n}\}$．
（1）设$a_{m}(m\geqslant 2)$属于数列$\{a_{n}\}$，证明：$a_{m}=\ln a_{m-1}-1$；
（2）试比较$a_{m}$与$a_{m-1}-2$的大小关系；
（3）若正整数$k\geqslant 3$，是否存在$k$使得$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$、$\dotsb$、$a_{k}$依次成等差数列？若存在，求出$k$的所有取值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）证明过程见解答；（2）$a_{m}\leqslant a_{m-1}-2$；（3）$k=3$．
分析：（1）对函数$f(x)$求导，利用导数的几何意义，可得过点$(a_{m-1}$，$f(a_{m-1}))$的切线方程，再结合题意即可得证；
（2）由不等式$\ln x\leqslant x-1(x > 0)$，结合（1）即可得出结论；
（3）易知公差$d=a_{n}-a_{n-1}=\ln a_{n-1}-a_{n-1}-1$，$2\leqslant n\leqslant k$，考察函数$g(x)=\ln x-x-1$，利用导数可知$g(x)$的单调性情况，进而得到至多存在两个$a_{n-1}$，使得$g(a_{n-1})=d$，由此可知$k=3$，再验证即可．
解：（1）证明：${f}'(x)=\dfrac{1}{x}$，
则过点$(a_{m-1}$，$f(a_{m-1}))$的切线的斜率为$\dfrac{1}{{a}_{m-1}}$，
由点斜式可得，此时切线方程为$y-\ln {a}_{m-1}=\dfrac{1}{{a}_{m-1}}(x-{a}_{m-1})$，即$y=\dfrac{1}{{a}_{m-1}}x+\ln {a}_{m-1}-1$，
令$x=0$，可得$y=\ln a_{m-1}-1$，
根据题意可知，$a_{m}=\ln a_{m-1}-1$，即得证；
（2）先证明不等式$\ln x\leqslant x-1(x > 0)$，
设$F(x)=\ln x-x+1(x > 0)$，则${F}'(x)=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}$，
易知当$0 < x < 1$时，$F\prime (x) > 0$，$F(x)$单调递增，当$x > 1$时，$F\prime (x) < 0$，$F(x)$单调递减，
则$F(x)\leqslant F$（1）$=0$，即$\ln x\leqslant x-1(x > 0)$，
结合（1）可知，$a_{m}=\ln a_{m-1}-1\leqslant a_{m-1}-1-1=a_{m-1}-2$；
（3）假设存在这样的$k$符合要求，
由（2）可知，数列$\{a_{n}\}$为严格的递减数列，$n=1$，2，3，$\ldots$，$k$，
由（1）可知，公差$d=a_{n}-a_{n-1}=\ln a_{n-1}-a_{n-1}-1$，$2\leqslant n\leqslant k$，
先考察函数$g(x)=\ln x-x-1$，则${g}'(x)=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}$，
易知当$0 < x < 1$时，$g\prime (x) > 0$，$g(x)$单调递增，当$x > 1$时，$g\prime (x) < 0$，$g(x)$单调递减，
则$g(x)=d$至多只有两个解，即至多存在两个$a_{n-1}$，使得$g(a_{n-1})=d$，
若$k\geqslant 4$，则$g(a_{1})=g(a_{2})=g(a_{3})=d$，矛盾，则$k=3$，
当$k=3$时，设函数$h(x)=\ln (\ln x-1)-2\ln x+x+1$，
由于$h(e^{1.1})=\ln 0.1-2.2+e^{1.1}+1=e^{1.1}-\ln 10-1.2 < 0$，$h(e^{2})=-3+e^{2} > 0$，
则存在${x}_{0}\in ({e}^{1.1},{e}^{2})$，使得$h(x_{0})=0$，
于是取$a_{1}=x_{0}$，$a_{2}=\ln a_{1}-1$，$a_{3}=\ln a_{2}-1$，它们构成等差数列．
综上，$k=3$．
点评：本题考查数列与函数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
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