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2023年高考数学上海19<-->2023年高考数学上海21
（18分）已知抛物线$\Gamma :y^{2}=4x$，在$\Gamma$上有一点$A$位于第一象限，设$A$的纵坐标为$a(a > 0)$．
（1）若$A$到抛物线$\Gamma$准线的距离为3，求$a$的值；
（2）当$a=4$时，若$x$轴上存在一点$B$，使$AB$的中点在抛物线$\Gamma$上，求$O$到直线$AB$的距离；
（3）直线$l:x=-3$，抛物线上有一异于点$A$的动点$P$，$P$在直线$l$上的投影为点$H$，直线$AP$与直线$l$的交点为$Q$．若在$P$的位置变化过程中，$\vert HQ\vert > 4$恒成立，求$a$的取值范围．
答案：（1）$a=2\sqrt{2}$；（2）$\dfrac{4\sqrt{13}}{13}$；（3）$(0$，$2]$．
分析：（1）根据题意可得点$A$的横坐标为2，将其代入抛物线的方程，即可求得$a$的值；
（2）易知$A(4,4)$，设$B(b,0)$，由$AB$的中点在抛物线上，可得$b$的值，进而得到直线$AB$的方程，再由点到直线的距离公式得解；
（3）设$P(\dfrac{{t}^{2}}{4},t),A(\dfrac{{a}^{2}}{4},a),H(-3,t)(t\ne a)$，表示出直线$AP$的方程，进一步表示出点$Q$的坐标，再根据$\vert HQ\vert > 4$恒成立，结合基本不等式即可得到$a$的范围．
解：（1）抛物线$\Gamma :y^{2}=4x$的准线为$x=-1$，
由于$A$到抛物线$\Gamma$准线的距离为3，
则点$A$的横坐标为2，则$a^{2}=4\times 2=8(a > 0)$，
解得$a=2\sqrt{2}$；
（2）当$a=4$时，点$A$的横坐标为$\dfrac{{4}^{2}}{4}=4$，则$A(4,4)$，
设$B(b,0)$，则$AB$的中点为$(\dfrac{b+4}{2},2)$，
由题意可得${2}^{2}=4\times \dfrac{b+4}{2}$，解得$b=-2$，
所以$B(-2,0)$，
则${k}_{AB}=\dfrac{4-0}{4+2}=\dfrac{2}{3}$，
由点斜式可得，直线$AB$的方程为$y=\dfrac{2}{3}(x+2)$，即$2x-3y+4=0$，
所以原点$O$到直线$AB$的距离为$\dfrac{4}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}=\dfrac{4\sqrt{13}}{13}$；
（3）如图，
设$P(\dfrac{{t}^{2}}{4},t),A(\dfrac{{a}^{2}}{4},a),H(-3,t)(t\ne a > 0)$，则${k}_{AP}=\dfrac{t-a}{\dfrac{{t}^{2}}{4}-\dfrac{{a}^{2}}{4}}=\dfrac{4}{t+a}$，
故直线$AP$的方程为$y-a=\dfrac{4}{t+a}(x-\dfrac{{a}^{2}}{4})$，
令$x=-3$，可得$y=a-(\dfrac{{a}^{2}}{4}+3)\cdot \dfrac{4}{t+a}$，即$Q(-3,a-(\dfrac{{a}^{2}}{4}+3)\cdot \dfrac{4}{t+a})$，
则$\vert HQ\vert =\vert t-a+(\dfrac{{a}^{2}}{4}+3)\cdot \dfrac{4}{t+a}\vert$，
依题意，$\vert t-a+(\dfrac{{a}^{2}}{4}+3)\cdot \dfrac{4}{t+a}\vert > 4$恒成立，
又$t+a+(\dfrac{{a}^{2}}{4}+3)\cdot \dfrac{4}{t+a}-2a\geqslant 4\sqrt{\dfrac{{a}^{2}}{4}+3}-2a > 0$，
则最小值为$4\sqrt{\dfrac{{a}^{2}}{4}+3}-2a > 4$，即$2\sqrt{\dfrac{{a}^{2}}{4}+3} > 2+a$，即$\sqrt{{a}^{2}+12} > 2+a$，
则$a^{2}+12 > a^{2}+4a+4$，解得$0 < a < 2$，
又当$a=2$时，$t+2+\dfrac{16}{t+2}-4\geqslant 2\sqrt{(t+2)\cdot \dfrac{16}{t+2}}-4=4$，当且仅当$t=2$时等号成立，
而$a\ne t$，即当$a=2$时，也符合题意．
故实数$a$的取值范围为$(0$，$2]$．
点评：本题考查抛物线的定义及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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