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2023年高考数学上海9<-->2023年高考数学上海11
（5分）已知$(1+2023x)^{100}+(2023-x)^{100}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{99}x^{99}+a_{100}x^{100}$，若存在$k\in \{0$，1，2，$\dotsb$，$100\}$使得$a_{k} < 0$，则$k$的最大值为 ____．
答案：49．
分析：由二项展开式的通项可得$a_{k}={C}_{100}^{k}[2023^{k}+2023^{100-k}\cdot (-1)^{k}]$，若$a_{k} < 0$，则$k$为奇数，所以$a_{k}={C}_{100}^{k}(2023^{k}-2023^{100-k})$，即$2023^{k}-2023^{100-k} < 0$，从而求出$k$的取值范围，得到$k$的最大值．
解：二项式$(1+2023x)^{100}$的通项为${T}_{r+1}{=C}_{100}^{r}(2023x)^{r}={C}_{100}^{r}\cdot 2023^{r}\cdot x^{r}$，$r\in \{0$，1，2，$\ldots$，$100\}$，
二项式$(2023-x)^{100}$的通项为${T}_{r+1}{=C}_{100}^{r}202{3}^{100-r}(-x)^{r}={C}_{100}^{r}\cdot 2023^{100-r}\cdot (-1)^{r}\cdot x^{r}$，$r\in \{0$，1，2，$\ldots$，$100\}$，
$\therefore a_{k}={C}_{100}^{k}\cdot 202{3}^{k}+{C}_{100}^{k}\cdot 202{3}^{100-k}\cdot (-1)^{k}={C}_{100}^{k}[2023^{k}+2023^{100-k}\cdot (-1)^{k}]$，$k\in \{0$，1，2，$\dotsb$，$100\}$，
若$a_{k} < 0$，则$k$为奇数，
此时$a_{k}={C}_{100}^{k}(2023^{k}-2023^{100-k})$，
$\therefore 2023^{k}-2023^{100-k} < 0$，
$\therefore k < 100-k$，
$\therefore k < 50$，
又$\because k$为奇数，
$\therefore k$的最大值为49．
故答案为：49．
点评：本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．
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