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2023年高考数学上海11<-->2023年高考数学上海13
（5分）空间中有三个点$A$、$B$、$C$，且$AB=BC=CA=1$，在空间中任取2个不同的点$D$，$E$（不考虑这两个点的顺序），使得它们与$A$、$B$、$C$恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有____种．
答案：9．
分析：根据正四棱锥的性质，分类讨论，即可求解．
解：如图所示，设任取2个不同的点为$D$、$E$，
当$\Delta ABC$为正四棱锥的侧面时，如图，平面$ABC$的两侧分别可以做$ABDE$作为圆锥的底面，有2种情况，
同理以$BCED$、$ACED$为底面各有2种情况，所以共有6种情况；
当$\Delta ABC$为正四棱锥的截面时，如图，$D$、$E$位于$AB$两侧，$ADBE$为圆锥的底面，只有一种情况，
同理以$BDCE$、$ADCE$为底面各有1种情况，所以共有3种情况；
综上，共有$6+3=9$种情况．
故答案为：9．
点评：本题考查正四棱锥的性质，分类讨论思想，属中档题．
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