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2023年高考数学上海18<-->2023年高考数学上海20
（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
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红色外观 |
蓝色外观 |
| 棕色内饰 |
12 |
8 |
| 米色内饰 |
2 |
3 |
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件$A$为小明取到红色外观的模型，事件$B$为小明取到棕色内饰的模型，求$P$（B）和$P(B\vert A)$，并判断事件$A$和事件$B$是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设$X$为奖金额，写出$X$的分布列并求出$X$的数学期望．
答案：（1）$P$（A）$=\dfrac{14}{25}$，$P$（B）$=\dfrac{4}{5}$．$P(B\vert A)=\dfrac{6}{7}$．事件$A$和事件$B$不独立．
（2）$EX=277$（元$)$．
分析：（1）根据概率公式分别进行计算即可．
（2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定$X$对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可．
解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率$P$（A）$=\dfrac{12+2}{25}=\dfrac{14}{25}$，
若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率$P$（B）$=\dfrac{12+8}{25}=\dfrac{20}{25}=\dfrac{4}{5}$．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即$P(AB)=\dfrac{12}{25}$，
则$P(B\vert A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{12}{25}}{\dfrac{14}{25}}=\dfrac{12}{14}=\dfrac{6}{7}$．
$\because P$（A）$P$（B）$=\dfrac{14}{25}\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{56}{125}\ne \dfrac{12}{25}$，$\therefore P$（A）$P$（B）$\ne P(AB)$，
即事件$A$和事件$B$不独立．
（2）由题意知$X=600$，300，150，
则外观和内饰均为同色的概率$P=\dfrac{{C}_{12}^{2}+{C}_{8}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{2}^{2}}{{C}_{25}^{2}}=\dfrac{66+28+3+1}{300}=\dfrac{98}{300}=\dfrac{49}{150}$，
外观和内饰都异色的概率$P=\dfrac{{C}_{12}^{1}{C}_{3}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{1}}{{C}_{52}^{2}}=\dfrac{52}{300}$，
仅外观或仅内饰同色的概率$P=1-\dfrac{49}{150}-\dfrac{52}{300}=\dfrac{150}{300}$，
$\because$$\dfrac{150}{300} > \dfrac{49}{150} > \dfrac{52}{300}$，
$\therefore P(X=150)=\dfrac{150}{300}$，$P(X=300)=\dfrac{98}{300}=\dfrac{49}{150}$，$P(X=600)=\dfrac{52}{300}$，
则$X$的分布列为：
| $X$ |
150 |
300 |
600 |
| $P$ |
$\dfrac{150}{300}$ |
$\dfrac{49}{150}$ |
$\dfrac{52}{300}$ |
则$EX=150\times \dfrac{150}{300}+300\times \dfrac{49}{150}+600\times \dfrac{52}{300}=277$（元$)$．
点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率公式求出对应的概率是解决本题的关键，是中档题．
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