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2023年高考数学上海18

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（14分）已知

$a$ ，

$c\in R$ ，函数

$f(x)=\dfrac{{x^2}+(3a+1)x+c}{x+a}$ ．
（1）若

$a=0$ ，求函数的定义域，并判断是否存在

$c$ 使得

$f(x)$ 是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点

$(1,3)$ ，且函数

$f(x)$ 与

$x$ 轴负半轴有两个不同交点，求此时

$c$ 的值和

$a$ 的取值范围．
答案：（1）

$a=0$ 时，

$f(x)$ 的定义域为

$\{x\vert x\ne 0\}$ ，不存在

$c$ 使得

$f(x)$ 是奇函数．
（2）

$(\dfrac{1}{3}$ ，

$\dfrac{1}{2})\bigcup (\dfrac{1}{2}$ ，

$+\infty )$ ．
分析：（1）

$a=0$ 时，求出函数

$f(x)$ 的解析式，根据函数的定义域和奇偶性进行求解判断即可．
（2）根据函数过点

$(1,3)$ ，求出

$c$ 的值，然后根据

$f(x)$ 与

$x$ 轴负半轴有两个不同交点，转化为一元二次方程根的分布进行求解即可．
解：（1）若

$a=0$ ，则

$f(x)=\dfrac{{x}^{2}+x+c}{x}=x+\dfrac{c}{x}+1$ ，
要使函数有意义，则

$x\ne 0$ ，即

$f(x)$ 的定义域为

$\{x\vert x\ne 0\}$ ，

$\because y=x+\dfrac{c}{x}$ 是奇函数，

$y=1$ 是偶函数，

$\therefore$ 函数

$f(x)=x+\dfrac{c}{x}+1$ 为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数

$c$ ，使得

$f(x)$ 是奇函数．
（2）若函数过点

$(1,3)$ ，则

$f$ （1）

$=\dfrac{1+3a+1+c}{1+a}=\dfrac{3a+2+c}{1+a}=3$ ，得

$3a+2+c=3+3a$ ，得

$c=3-2=1$ ，
此时

$f(x)=\dfrac{{x}^{2}+(3a+1)x+1}{x+a}$ ，若数

$f(x)$ 与

$x$ 轴负半轴有两个不同交点，
即

$f(x)=\dfrac{{x}^{2}+(3a+1)x+1}{x+a}=0$ ，得

$x^{2}+(3a+1)x+1=0$ ，当

$x < 0$ 时，有两个不同的交点，
设

$g(x)=x^{2}+(3a+1)x+1$ ，
则

$\left\{\begin{array}{l}{\triangle =(3a+1)^{2}-4 > 0}\\ {{x}_{1}{x}_{2}=1 > 0}\\ {{x}_{1}+{x}_{2}=-(3a+1) < 0}\\ {-\dfrac{3a+1}{2} < 0}\end{array}\right.$ ，得

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3a+1 > 23a+1 < -2 \\ 3a+1 > 0 \\ \end{array} \right.$ ，得

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a > \dfrac{1}{3}a < -1 \\ a > -\dfrac{1}{3} \\ \end{array} \right.$ ，即

$a > \dfrac{1}{3}$ ，
若

$x+a=0$ 即

$x=-a$ 是方程

$x^{2}+(3a+1)x+1=0$ 的根，
则

$a^{2}-(3a+1)a+1=0$ ，即

$2a^{2}+a-1=0$ ，得

$a=\dfrac{1}{2}$ 或

$a=-1$ ，
则实数

$a$ 的取值范围是

$a > \dfrac{1}{3}$ 且

$a\ne \dfrac{1}{2}$ 且

$a\ne -1$ ，
即

$(\dfrac{1}{3}$ ，

$\dfrac{1}{2})\bigcup (\dfrac{1}{2}$ ，

$+\infty )$ ．
点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数与方程的应用，根据条件建立方程，转化为一元二次方程根的分布是解决本题的关键，是中档题．

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