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2023年高考数学上海17<-->2023年高考数学上海19
（14分）已知$a$，$c\in R$，函数$f(x)=\dfrac{{x^2}+(3a+1)x+c}{x+a}$．
（1）若$a=0$，求函数的定义域，并判断是否存在$c$使得$f(x)$是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点$(1,3)$，且函数$f(x)$与$x$轴负半轴有两个不同交点，求此时$c$的值和$a$的取值范围．
答案：（1）$a=0$时，$f(x)$的定义域为$\{x\vert x\ne 0\}$，不存在$c$使得$f(x)$是奇函数．
（2）$(\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{1}{2})\bigcup (\dfrac{1}{2}$，$+\infty )$．
分析：（1）$a=0$时，求出函数$f(x)$的解析式，根据函数的定义域和奇偶性进行求解判断即可．
（2）根据函数过点$(1,3)$，求出$c$的值，然后根据$f(x)$与$x$轴负半轴有两个不同交点，转化为一元二次方程根的分布进行求解即可．
解：（1）若$a=0$，则$f(x)=\dfrac{{x}^{2}+x+c}{x}=x+\dfrac{c}{x}+1$，
要使函数有意义，则$x\ne 0$，即$f(x)$的定义域为$\{x\vert x\ne 0\}$，
$\because y=x+\dfrac{c}{x}$是奇函数，$y=1$是偶函数，
$\therefore$函数$f(x)=x+\dfrac{c}{x}+1$为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数$c$，使得$f(x)$是奇函数．
（2）若函数过点$(1,3)$，则$f$（1）$=\dfrac{1+3a+1+c}{1+a}=\dfrac{3a+2+c}{1+a}=3$，得$3a+2+c=3+3a$，得$c=3-2=1$，
此时$f(x)=\dfrac{{x}^{2}+(3a+1)x+1}{x+a}$，若数$f(x)$与$x$轴负半轴有两个不同交点，
即$f(x)=\dfrac{{x}^{2}+(3a+1)x+1}{x+a}=0$，得$x^{2}+(3a+1)x+1=0$，当$x < 0$时，有两个不同的交点，
设$g(x)=x^{2}+(3a+1)x+1$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\triangle =(3a+1)^{2}-4 > 0}\\ {{x}_{1}{x}_{2}=1 > 0}\\ {{x}_{1}+{x}_{2}=-(3a+1) < 0}\\ {-\dfrac{3a+1}{2} < 0}\end{array}\right.$，得$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
3a+1 > 23a+1 < -2 \\
3a+1 > 0 \\
\end{array} \right.$，得$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a > \dfrac{1}{3}a < -1 \\
a > -\dfrac{1}{3} \\
\end{array} \right.$，即$a > \dfrac{1}{3}$，
若$x+a=0$即$x=-a$是方程$x^{2}+(3a+1)x+1=0$的根，
则$a^{2}-(3a+1)a+1=0$，即$2a^{2}+a-1=0$，得$a=\dfrac{1}{2}$或$a=-1$，
则实数$a$的取值范围是$a > \dfrac{1}{3}$且$a\ne \dfrac{1}{2}$且$a\ne -1$，
即$(\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{1}{2})\bigcup (\dfrac{1}{2}$，$+\infty )$．
点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数与方程的应用，根据条件建立方程，转化为一元二次方程根的分布是解决本题的关键，是中档题．
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