2023年高考数学上海21(18分)已知$f(x)=\ln x$,在该函数图像$\Gamma$上取一点$a_{1}$,过点$(a_{1}$,$f(a_{1}))$做函数$f(x)$的切线,该切线与$y$轴的交点记作$(0,a_{2})$,若$a_{2} > 0$,则过点$(a_{2}$,$f(a_{2}))$做函数$f(x)$的切线,该切线与$y$轴的交点记作$(0,a_{3})$,以此类推$a_{3}$,$a_{4}$,$\dotsb$,直至$a_{m}\leqslant 0$停止,由这些项构成数列$\{a_{n}\}$.
(1)设$a_{m}(m\geqslant 2)$属于数列$\{a_{n}\}$,证明:$a_{m}=\ln a_{m-1}-1$;
(2)试比较$a_{m}$与$a_{m-1}-2$的大小关系;
(3)若正整数$k\geqslant 3$,是否存在$k$使得$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$、$\dotsb$、$a_{k}$依次成等差数列?若存在,求出$k$的所有取值;若不存在,请说明理由.【答案详解】 |