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    2023年高考数学上海11(5分)某公园欲建设一段斜坡,坡顶是一条直线,斜坡顶点距水平地面的高度为4米,坡面与水平面所成夹角为$\theta$.行人每沿着斜坡向上走$1m$消耗的体力为$(1.025-\cos \theta )$,欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小,则$\theta =$____.
    【答案详解】
    2023年高考数学上海12(5分)空间中有三个点$A$、$B$、$C$,且$AB=BC=CA=1$,在空间中任取2个不同的点$D$,$E$(不考虑这两个点的顺序),使得它们与$A$、$B$、$C$恰好成为一个正四棱锥的五个顶点,则不同的取法有____种.
    【答案详解】
    2023年高考数学上海13(4分)已知$P=\{1$,$2\}$,$Q=\{2$,$3\}$,若$M=\{x\vert x\in P$,$x\notin Q\}$,则$M=($  $)$
    A.$\{1\}$              B.$\{2\}$              C.$\{3\}$              D.$\{1$,2,$3\}$【答案详解】
    2023年高考数学上海14(4分)根据所示的散点图,下列说法正确的是$($  $)$

    A.身高越大,体重越大              B.身高越大,体重越小              
    C.身高和体重成正相关              D.身高和体重成负相关【答案详解】
    2023年高考数学上海15(5分)已知$a\in R$,记$y=\sin x$在$[a$,$2a]$的最小值为$s_{a}$,在$[2a$,$3a]$的最小值为$t_{a}$,则下列情况不可能的是$($  $)$
    A.$s_{a} > 0$,$t_{a} > 0$              B.$s_{a} < 0$,$t_{a} < 0$              C.$s_{a} > 0$,$t_{a} < 0$              D.$s_{a} < 0$,$t_{a} > 0$【答案详解】
    2023年高考数学上海16(5分)已知$P$,$Q$是曲线$\Gamma$上两点,若存在$M$点,使得曲线$\Gamma$上任意一点$P$都存在$Q$使得$\vert MP\vert \cdot \vert MQ\vert =1$,则称曲线$\Gamma$是“自相关曲线”.现有如下两个命题:①任意椭圆都是“自相关曲线”;②存在双曲线是“自相关曲线”,则$($  $)$
    A.①成立,②成立              B.①成立,②不成立              
    C.①不成立,②成立              D.①不成立,②不成立【答案详解】
    2023年高考数学上海17(14分)已知直四棱柱$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$,$AB\bot AD$,$AB//CD$,$AB=2$,$AD=3$,$CD=4$.
    (1)证明:直线$A_{1}B//$平面$DCC_{1}D_{1}$;
    (2)若该四棱柱的体积为36,求二面角$A_{1}-BD-A$的大小.
    【答案详解】
    2023年高考数学上海18(14分)已知$a$,$c\in R$,函数$f(x)=\dfrac{{x^2}+(3a+1)x+c}{x+a}$.
    (1)若$a=0$,求函数的定义域,并判断是否存在$c$使得$f(x)$是奇函数,说明理由;
    (2)若函数过点$(1,3)$,且函数$f(x)$与$x$轴负半轴有两个不同交点,求此时$c$的值和$a$的取值范围.【答案详解】
    2023年高考数学上海19(14分)2023年6月7日,21世纪汽车博览会在上海举行,已知某汽车模型公司共有25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表所示:
     红色外观蓝色外观
    棕色内饰128
    米色内饰23
    (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件$A$为小明取到红色外观的模型,事件$B$为小明取到棕色内饰的模型,求$P$(B)和$P(B\vert A)$,并判断事件$A$和事件$B$是否独立;
    (2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,给出以下假设:
    假设1:拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色;
    假设2:按结果的可能性大小,概率越小奖项越高;
    假设3:该抽奖活动的奖金额为:一等奖600元,二等奖300元、三等奖150元;
    请你分析奖项对应的结果,设$X$为奖金额,写出$X$的分布列并求出$X$的数学期望.【答案详解】
    2023年高考数学上海20(18分)已知抛物线$\Gamma :y^{2}=4x$,在$\Gamma$上有一点$A$位于第一象限,设$A$的纵坐标为$a(a > 0)$.
    (1)若$A$到抛物线$\Gamma$准线的距离为3,求$a$的值;
    (2)当$a=4$时,若$x$轴上存在一点$B$,使$AB$的中点在抛物线$\Gamma$上,求$O$到直线$AB$的距离;
    (3)直线$l:x=-3$,抛物线上有一异于点$A$的动点$P$,$P$在直线$l$上的投影为点$H$,直线$AP$与直线$l$的交点为$Q$.若在$P$的位置变化过程中,$\vert HQ\vert  > 4$恒成立,求$a$的取值范围.【答案详解】
    2023年高考数学上海21(18分)已知$f(x)=\ln x$,在该函数图像$\Gamma$上取一点$a_{1}$,过点$(a_{1}$,$f(a_{1}))$做函数$f(x)$的切线,该切线与$y$轴的交点记作$(0,a_{2})$,若$a_{2} > 0$,则过点$(a_{2}$,$f(a_{2}))$做函数$f(x)$的切线,该切线与$y$轴的交点记作$(0,a_{3})$,以此类推$a_{3}$,$a_{4}$,$\dotsb$,直至$a_{m}\leqslant 0$停止,由这些项构成数列$\{a_{n}\}$.
    (1)设$a_{m}(m\geqslant 2)$属于数列$\{a_{n}\}$,证明:$a_{m}=\ln a_{m-1}-1$;
    (2)试比较$a_{m}$与$a_{m-1}-2$的大小关系;
    (3)若正整数$k\geqslant 3$,是否存在$k$使得$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$、$\dotsb$、$a_{k}$依次成等差数列?若存在,求出$k$的所有取值;若不存在,请说明理由.【答案详解】
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