2024年高考数学北京21（15分）设集合$M=\{(i$，$j$，$s$，$t)\vert i\in \{1$，$2\}$，$j\in \{3$，$4\}$，$s\in \{5$，$6\}$，$t\in \{7$，$8\}$，$2\vert (i+j+s+t)\}$．对于给定有穷数列$A:\{a_{n}\}(1\leqslant n\leqslant 8)$，及序列$\Omega :\omega _{1}$，$\omega _{2}$，$\ldots$，$\omega _{s}$，$\omega _{k}=(i_{k}$，$j_{k}$，$s_{k}$，$t_{k})\in M$，定义变换$T$：将数列$A$的第$i_{1}$，$j_{1}$，$s_{1}$，$t_{1}$项加1，得到数列$T_{1}$（A）；将数列$T_{1}$（A）的第$i_{2}$，$j_{2}$，$s_{2}$，$t_{2}$项加1，得到数列$T_{2}T_{1}$（A）$\ldots$；重复上述操作，得到数列$T_{s}\dotsb T_{2}T_{1}$（A），记为$\Omega$（A）．
（1）给定数列$A:1$，3，2，4，6，3，1，9和序列$\Omega :(1$，3，5，$7)$，$(2$，4，6，$8)$，$(1$，3，5，$7)$，写出$\Omega$（A）；
（2）是否存在序列$\Omega$，使得$\Omega$（A）为$a_{1}+2$，$a_{2}+6$，$a_{3}+4$，$a_{4}+2$，$a_{5}+8$，$a_{6}+2$，$a+4$，$a_{8}+4$，若存在，写出一个符合条件的$\Omega$；若不存在，请说明理由；
（3）若数列$A$的各项均为正整数，且$a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}$为偶数，证明：“存在序列$\Omega$，使得$\Omega$（A）为常数列”的充要条件为“$a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}=a_{7}+a_{8}$”．【答案详解】 |
