2024年北京

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2024年高考数学北京1（4分）已知集合

$M=\{x\vert -4 < x\leqslant 1\}$ ，

$N=\{x\vert -1 < x < 3\}$ ，则

$M\bigcup N=$ (　　)
A．

$\{x\vert -4 < x < 3\}$ B．

$\{x\vert -1 < x\leqslant 1\}$ C．

$\{0，1，2\}$ D．

$\{x\vert -1 < x < 4\}$ 【答案详解】

2024年高考数学北京2（4分）已知

$\dfrac{z}{i}=i-1$ ，则

$z=($ 　　

$)$
A．

$1-i$ B．

$-1$ C．

$-1-i$ D．1【答案详解】

2024年高考数学北京3（4分）求圆

$x^{2}+y^{2}-2x+6y=0$ 的圆心到

$x-y+2=0$ 的距离

$($ 　　

$)$
A．

$2\sqrt{3}$ B．2 C．

$3\sqrt{2}$ D．

$\sqrt{6}$ 【答案详解】

2024年高考数学北京4（4分）

${(x-\sqrt{x})}^{4}$ 的二项展开式中

$x^{3}$ 的系数为(　　)
A．15 B．6 C．

$-4$ D．

$-13$ 【答案详解】

2024年高考数学北京5（4分）已知向量

$\overrightarrow{a}$ ，

$\overrightarrow{b}$ ，则“

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0$ ”是“

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ 或

$\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$ ”的(　　)$条件．
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案详解】

2024年高考数学北京6（4分）已知

$f(x)=\sin \omega x$ ，

$f(x_{1})=-1$ ，

$f(x_{2})=1$ ，

$\vert x_1-x_2\vert _{min}=\dfrac{\pi }{2}$ ，则

$\omega =($ 　　

$)$
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案详解】

2024年高考数学北京7（4分）记水的质量为

$d=\dfrac{S-1}{\ln n}$ ，并且

$d$ 越大，水质量越好．若

$S$ 不变，且

$d_{1}=2.1$ ，

$d_{2}=2.2$ ，则

$n_{1}$ 与

$n_{2}$ 的关系为

$($ 　　

$)$
A．

$n_{1} < n_{2}$
B．

$n_{1} > n_{2}$
C．若

$S < 1$ ，则

$n_{1} < n_{2}$ ；若

$S > 1$ ，则

$n_{1} > n_{2}$
D．若

$S < 1$ ，则

$n_{1} > n_{2}$ ；若

$S > 1$ ，则

$n_{1} < n_{2}$ 【答案详解】

2024年高考数学北京8（4分）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为

$4,4,2\sqrt{2},2\sqrt{2}$ ，则该四棱锥的高为

$($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ B．

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ C．

$2\sqrt{3}$ D．

$\sqrt{3}$ 【答案详解】

2024年高考数学北京9（4分）已知

$(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$(x_{2}$ ，

$y_{2})$ 是函数

$y=2^{x}$ 图象上不同的两点，则下列正确的是(　　)
A．

$\log _2\frac{y_1+y_2}{2} > \frac{x_1+x_2}{2}$ B．

$\log _2\frac{y_1+y_2}{2} < \frac{x_1+x_2}{2}$
C．

$\log _2\frac{y_1+y_2}{2} > x_1+x_2$ D．

$\log _2\frac{y_1+y_2}{2} < x_1+x_2$
【答案详解】

2024年高考数学北京10（4分）若集合

$\{(x$ ，

$y)\vert y=x+t(x^{2}-x)$ ，

$0\leqslant t\leqslant 1$ ，

$1\leqslant x\leqslant 2\}$ 表示的图形中，两点间最大距离为

$d$ ，面积为

$S$ ，则

$($ 　　

$)$
A．

$d=3$ ，

$S < 1$ B．

$d=3$ ，

$S > 1$ C．

$d=\sqrt{10},S < 1$ D．

$d=\sqrt{10},S > 1$ 【答案详解】

2024年高考数学北京11（5分）已知抛物线

$y^{2}=16x$ ，则焦点坐标为____．【答案详解】

2024年高考数学北京12（5分）已知

$\alpha \in [\dfrac{\pi }{6},\dfrac{\pi }{3}]$ ，且

$\alpha$ 与

$\beta$ 的终边关于原点对称，则

$\cos \beta$ 的最大值为____．【答案详解】

2024年高考数学北京13（5分）已知双曲线

$\dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ ，则过

$(3,0)$ 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为____．【答案详解】

2024年高考数学北京14（5分）已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为

$65mm$ ，第二、三个圆柱的直径为

$325mm$ ，第三个圆柱的高为

$230mm$ ，求前两个圆柱的高度分别为____，____．【答案详解】

2024年高考数学北京15（5分）已知

$M=\{k\vert a_{k}=b_{k}\}$ ，

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是____．
①

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 均为等差数列，则

$M$ 中最多一个元素；
②

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 均为等比数列，则

$M$ 中最多三个元素；
③

$\{a_{n}\}$ 为等差数列，

$\{b_{n}\}$ 为等比数列，则

$M$ 中最多三个元素；
④

$\{a_{n}\}$ 单调递增，

$\{b_{n}\}$ 单调递减，则

$M$ 中最多一个元素．
【答案详解】

2024年高考数学北京16（10分）在

$\Delta ABC$ 中，

$a=7$ ，

$A$ 为钝角，

$\sin 2B=\dfrac{\sqrt{3}}{7}b\cos B$ ．
（1）求

$\angle A$ ；
（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求

$\Delta ABC$ 的面积．
①

$b=7$ ；
②

$\cos B=\dfrac{13}{14}$ ；
③

$c\sin A=\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$ ．
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．【答案详解】

2024年高考数学北京17（15分）已知四棱锥

$P-ABCD$ ，

$AD//BC$ ，

$AB=BC=1$ ，

$AD=3$ ，

$DE=PE=2$ ，

$E$ 是

$AD$ 上一点，

$PE\bot AD$ ．
（1）若

$F$ 是

$PE$ 中点，证明：

$BF//$ 平面

$PCD$ ．
（2）若

$AB\bot$ 平面

$PED$ ，求面

$PAB$ 与面

$PCD$ 夹角的余弦值．

【答案详解】

2024年高考数学北京18（15分）已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元．

赔偿次数	0	1	2	3	4
单数	800	100	60	30	10

在总体中抽样1000单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；
（2）

$(i)$ 毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为

$X$ ，估计

$X$ 的数学期望；

$(ii)$ 若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降

$4%$ ，已赔偿过的增加

$20%$ ．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．【答案详解】

2024年高考数学北京19（15分）已知椭圆方程

$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过

$(0,t)(t > \sqrt{2})$ 的直线

$l$ 与椭圆交于

$A$ ，

$B$ ，

$C(0,1)$ ，连接

$AC$ 交椭圆于

$D$ ．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线

$BD$ 的斜率为0，求

$t$ ．【答案详解】

2024年高考数学北京20（15分）已知

$f(x)=x+k\ln (1+x)$ 在

$(t$ ，

$f(t))(t > 0)$ 处切线为

$l$ ．
（1）若切线

$l$ 的斜率

$k=-1$ ，求

$f(x)$ 单调区间；
（2）证明：切线

$l$ 不经过

$(0,0)$ ；
（3）已知

$k=1$ ，

$A(t$ ，

$f(t))$ ，

$C(0$ ，

$f(t))$ ，

$O(0,0)$ ，其中

$t > 0$ ，切线

$l$ 与

$y$ 轴交于点

$B$ ，当

$2S_{\Delta ACO}=15S_{\Delta ABO}$ ，符合条件的

$A$ 的个数为？
（参考数据：

$1.09 < \ln 3 < 1.10$ ，

$1.60 < \ln 5 < 1.61$ ，

$1.94 < \ln 7 < 1.95)$ 【答案详解】

2024年高考数学北京21（15分）设集合

$M=\{(i$ ，

$j$ ，

$s$ ，

$t)\vert i\in \{1$ ，

$2\}$ ，

$j\in \{3$ ，

$4\}$ ，

$s\in \{5$ ，

$6\}$ ，

$t\in \{7$ ，

$8\}$ ，

$2\vert (i+j+s+t)\}$ ．对于给定有穷数列

$A:\{a_{n}\}(1\leqslant n\leqslant 8)$ ，及序列

$\Omega :\omega _{1}$ ，

$\omega _{2}$ ，

$\ldots$ ，

$\omega _{s}$ ，

$\omega _{k}=(i_{k}$ ，

$j_{k}$ ，

$s_{k}$ ，

$t_{k})\in M$ ，定义变换

$T$ ：将数列

$A$ 的第

$i_{1}$ ，

$j_{1}$ ，

$s_{1}$ ，

$t_{1}$ 项加1，得到数列

$T_{1}$ （A）；将数列

$T_{1}$ （A）的第

$i_{2}$ ，

$j_{2}$ ，

$s_{2}$ ，

$t_{2}$ 项加1，得到数列

$T_{2}T_{1}$ （A）

$\ldots$ ；重复上述操作，得到数列

$T_{s}\dotsb T_{2}T_{1}$ （A），记为

$\Omega$ （A）．
（1）给定数列

$A:1$ ，3，2，4，6，3，1，9和序列

$\Omega :(1$ ，3，5，

$7)$ ，

$(2$ ，4，6，

$8)$ ，

$(1$ ，3，5，

$7)$ ，写出

$\Omega$ （A）；
（2）是否存在序列

$\Omega$ ，使得

$\Omega$ （A）为

$a_{1}+2$ ，

$a_{2}+6$ ，

$a_{3}+4$ ，

$a_{4}+2$ ，

$a_{5}+8$ ，

$a_{6}+2$ ，

$a+4$ ，

$a_{8}+4$ ，若存在，写出一个符合条件的

$\Omega$ ；若不存在，请说明理由；
（3）若数列

$A$ 的各项均为正整数，且

$a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}$ 为偶数，证明：“存在序列

$\Omega$ ，使得

$\Omega$ （A）为常数列”的充要条件为“

$a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}=a_{7}+a_{8}$ ”．【答案详解】

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