2024年高考数学北京9

（4分）已知

$(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$(x_{2}$ ，

$y_{2})$ 是函数

$y=2^{x}$ 图象上不同的两点，则下列正确的是(　　)
A．

$\log _2\frac{y_1+y_2}{2} > \dfrac{x_1+x_2}{2}$ B．

$\log _2\frac{y_1+y_2}{2} < \dfrac{x_1+x_2}{2}$
C．

$\log _2\frac{y_1+y_2}{2} > x_1+x_2$ D．

$\log _2\frac{y_1+y_2}{2} < x_1+x_2$
答案：

$A$
分析：根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数的运算性质，即可求解．
解：

$(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$(x_{2}$ ，

$y_{2})$ 是

$y=2^{x}$ 上的点，
则

${y}_{1}={2}^{{x}_{1}}$ ，

${y}_{2}={2}^{{x}_{2}}$ ，

${2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}\geqslant 2\sqrt{{2}^{{x}_{1}}\cdot {2}^{{x}_{2}}}=2\sqrt{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$ ，当且仅当

$x_{1}=x_{2}$ 时，等号成立，
故

$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2} > {2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$ ，
两边同时取对数可得，

$lo{g}_{2}\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2} > \dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$ ．
故选：

$A$ ．
点评：本题主要考查函数与不等式的综合，考查转化能力，属于中档题．

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