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2024年高考数学北京16<-->2024年高考数学北京18
（15分）已知四棱锥P−ABCD，AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一点，PE⊥AD．
（1）若F是PE中点，证明：BF//平面PCD．
（2）若AB⊥平面PED，求面PAB与面PCD夹角的余弦值．
分析：（1）设M为PD的中点，连接FM，CM，证明四边形BCMF为平行四边形，即可得BF//CM，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）易得CE⊥平面PED，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
（1）证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，
因为F是PE中点，所以FM//ED，且FM=12ED，
因为AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，
所以四边形ABCE为平行四边形，BC//ED，且BC=12ED，
所以FM//BC，且FM=BC，
即四边形BCMF为平行四边形，
所以BF//CM，
因为BF⊄平面PCD，CM⊂平面PCD，
所以BF//平面PCD．
（2）解：因为AB⊥平面PED，
所以CE⊥平面PED，EP，ED，EC相互垂直，
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，2)，A(0，−1，0)，B(1，−1，0)，C(1，0，0)，D(0，2，0)，
所以→AB=(1，0，0)，→AP=(0，1，2)，→PC=(1，0，−2)，→CD=(−1，2，0)，
设平面PAB的一个法向量为→m=(x1，y1，z1)，
则{→m⋅→AB=x1=0→m⋅→AP=y1+2z1=0，取z1=−1，则→m=(0，2，−1)，
设平面PCD的一个法向量为→n=(x2，y2，z2)，
则{→n⋅→PC=x2−2z2=0→n⋅→CD=−x2+2y2=0，取z2=1，则→n=(2，1，1)，
设平面PAB与平面PCD夹角为θ，
则cosθ=→m⋅→n|→m|⋅|→n|=2−1√5×√6=1√30=√3030．
点评：本题考查线面平行的判定定理，向量法求解二面角问题，属于中档题．
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