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（15分）已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元．
在总体中抽样1000单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；
（2）$(i)$毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为$X$，估计$X$的数学期望；
$(ii)$若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降$4%$，已赔偿过的增加$20%$．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．
分析：（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；
（2）$(i)$设$\xi$为赔付金额，则$\xi$可取0，0.8，1.6，2.4，3，用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求$E(X)$；
$(ii)$先算出下一期保费的变化情况，结合$(i)$的结果可求$E(Y)$．
解：（1）设$A$为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得$P(A)=\dfrac{60+30+10}{800+100+60+30+10}=\dfrac{1}{10}$；
（2）$(i)$设$\xi$为赔付金额，则$\xi$可取0，0.8，1.6，2.4，3，
由题可得$P(\xi =0)=\dfrac{800}{1000}=\dfrac{4}{5}$，$P(\xi =0.8)=\dfrac{100}{1000}=\dfrac{1}{10}$，
$P(\xi =1.6)=\dfrac{60}{1000}=\dfrac{3}{50}$，$P(\xi =2.4)=\dfrac{30}{1000}=\dfrac{3}{100}$，$P(\xi =3)=\dfrac{10}{1000}=\dfrac{1}{100}$，
所以$E(\xi )=0\times \dfrac{4}{5}+0.8\times \dfrac{1}{10}+1.6\times \dfrac{3}{50}+2.4\times \dfrac{3}{100}+3\times \dfrac{1}{100}=0.278$，
因为毛利润是保费与赔偿金额之差，
故$E(X)=0.4-0.278=0.122$（万元）；
$(ii)$由$(i)$知未赔偿的概率为$P(\xi =0)=\dfrac{800}{1000}=\dfrac{4}{5}$，至少赔偿一次的概率为$1-\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5}$，
故保费的变化为$0.4\times \dfrac{4}{5}\times (1-4\% )+0.4\times \dfrac{1}{5}\times (1+20\% )=0.4032$，
设$Y$为保单下一保险期的毛利润，
故$E(Y)=0.122+0.4032-0.4=0.1252$（万元）．
点评：本题考查用概率的数学期望的知识解决实际应用问题，属于中档题．
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