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2024年高考数学北京15<-->2024年高考数学北京17
（10分）在$\Delta ABC$中，$a=7$，$A$为钝角，$\sin 2B=\dfrac{\sqrt{3}}{7}b\cos B$．
（1）求$\angle A$；
（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求$\Delta ABC$的面积．
①$b=7$；
②$\cos B=\dfrac{13}{14}$；
③$c\sin A=\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$．
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
分析：（1）由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得$\sin A$，即可得到$A$；
（2）分析选条件①不合题意；
选条件②，由已知结合正弦定理求得$b$，由$\sin C=\sin (A+B)$可求得$\sin C$，再由三角形面积公式求解即可；
选条件③，由（1）及已知可求得$c$，结合余弦定理求得$b$，再由三角形面积公式求解即可；．
解：（1）因为$\sin 2B=\dfrac{\sqrt{3}}{7}b\cos B=2\sin B\cos B$，$\cos B\ne 0$，
所以$\sin B=\dfrac{\sqrt{3}}{14}b$，
在$\Delta ABC$中，由正弦定理得$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$，
因为$a=7$，所以$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
因为$A$为钝角，
所以$A=\dfrac{2\pi }{3}$．
（2）若选条件①，因为$b=7$，$a=7$，
所以$B=A=\dfrac{2\pi }{3}$，与$A+B+C=\pi$矛盾，故不合题意，舍去；
若选条件②，因为$\cos B=\dfrac{13}{14}$，所以$\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\dfrac{3\sqrt{3}}{14}$，
在$\Delta ABC$中，由正弦定理得$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$，
所以$b=\dfrac{a}{\sin A}\cdot \sin B=\dfrac{7}{\sin \dfrac{2\pi }{3}}\times \dfrac{3\sqrt{3}}{14}=3$，
又$\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{13}{14}+(-\dfrac{1}{2})\times \dfrac{3\sqrt{3}}{14}=\dfrac{5\sqrt{3}}{14}$，
所以$\Delta ABC$的面积为$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\times 7\times 3\times \dfrac{5\sqrt{3}}{14}=\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$；
若选条件③，由（1）知$A=\dfrac{2\pi }{3}$，
因为$c\sin A=\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$，所以$c=5$，
由余弦定理得$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，
即$7^{2}=b^{2}+5^{2}-2b\times 5\times \cos \dfrac{2\pi }{3}$，解得$b=3$，
所以$\Delta ABC$的面积为$S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}\times 3\times 5\times \sin \dfrac{2\pi }{3}=\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$．
点评：本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，属于中档题．
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