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2024年高考数学北京16

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（10分）在

$\Delta ABC$ 中，

$a=7$ ，

$A$ 为钝角，

$\sin 2B=\dfrac{\sqrt{3}}{7}b\cos B$ ．
（1）求

$\angle A$ ；
（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求

$\Delta ABC$ 的面积．
①

$b=7$ ；
②

$\cos B=\dfrac{13}{14}$ ；
③

$c\sin A=\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$ ．
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
分析：（1）由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得

$\sin A$ ，即可得到

$A$ ；
（2）分析选条件①不合题意；
选条件②，由已知结合正弦定理求得

$b$ ，由

$\sin C=\sin (A+B)$ 可求得

$\sin C$ ，再由三角形面积公式求解即可；
选条件③，由（1）及已知可求得

$c$ ，结合余弦定理求得

$b$ ，再由三角形面积公式求解即可；．
解：（1）因为

$\sin 2B=\dfrac{\sqrt{3}}{7}b\cos B=2\sin B\cos B$ ，

$\cos B\ne 0$ ，
所以

$\sin B=\dfrac{\sqrt{3}}{14}b$ ，
在

$\Delta ABC$ 中，由正弦定理得

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$ ，
因为

$a=7$ ，所以

$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，
因为

$A$ 为钝角，
所以

$A=\dfrac{2\pi }{3}$ ．
（2）若选条件①，因为

$b=7$ ，

$a=7$ ，
所以

$B=A=\dfrac{2\pi }{3}$ ，与

$A+B+C=\pi$ 矛盾，故不合题意，舍去；
若选条件②，因为

$\cos B=\dfrac{13}{14}$ ，所以

$\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\dfrac{3\sqrt{3}}{14}$ ，
在

$\Delta ABC$ 中，由正弦定理得

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$ ，
所以

$b=\dfrac{a}{\sin A}\cdot \sin B=\dfrac{7}{\sin \dfrac{2\pi }{3}}\times \dfrac{3\sqrt{3}}{14}=3$ ，
又

$\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{13}{14}+(-\dfrac{1}{2})\times \dfrac{3\sqrt{3}}{14}=\dfrac{5\sqrt{3}}{14}$ ，
所以

$\Delta ABC$ 的面积为

$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\times 7\times 3\times \dfrac{5\sqrt{3}}{14}=\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$ ；
若选条件③，由（1）知

$A=\dfrac{2\pi }{3}$ ，
因为

$c\sin A=\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$ ，所以

$c=5$ ，
由余弦定理得

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ ，
即

$7^{2}=b^{2}+5^{2}-2b\times 5\times \cos \dfrac{2\pi }{3}$ ，解得

$b=3$ ，
所以

$\Delta ABC$ 的面积为

$S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}\times 3\times 5\times \sin \dfrac{2\pi }{3}=\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$ ．
点评：本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，属于中档题．

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