2024年高考数学北京10

（4分）若集合

$\{(x$ ，

$y)\vert y=x+t(x^{2}-x)$ ，

$0\leqslant t\leqslant 1$ ，

$1\leqslant x\leqslant 2\}$ 表示的图形中，两点间最大距离为

$d$ ，面积为

$S$ ，则

$($ 　　

$)$
A．

$d=3$ ，

$S < 1$ B．

$d=3$ ，

$S > 1$ C．

$d=\sqrt{10},S < 1$ D．

$d=\sqrt{10},S > 1$
答案：

$C$
分析：根据已知条件，作出图象，结合图象即可得出答案．
解：集合

$\{y\vert y=x+t(x^{2}-x)$ ，

$0\leqslant t\leqslant 1$ ，

$1\leqslant x\leqslant 2\}$ 表示的图形如下图阴影部分所示，

由图象可知，

$d=\vert AB\vert =\sqrt{(2-1)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{10}$ ，

$S < {S}_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\times (4-2)\times (2-1)=1$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查简单的线性规划问题，涉及了二次函数的图象，考查数形结合思想，属于中档题．

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