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2024年高考数学北京15

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（5分）已知

$M=\{k\vert a_{k}=b_{k}\}$ ，

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是____．
①

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 均为等差数列，则

$M$ 中最多一个元素；
②

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 均为等比数列，则

$M$ 中最多三个元素；
③

$\{a_{n}\}$ 为等差数列，

$\{b_{n}\}$ 为等比数列，则

$M$ 中最多三个元素；
④

$\{a_{n}\}$ 单调递增，

$\{b_{n}\}$ 单调递减，则

$M$ 中最多一个元素．
分析：根据散点图的特征可判断①④的正误，举出反例可判断②的正误，由通项公式的特征以及反证法，即可判断③的正误．
解：对于①，

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 均为等差数列，

$M=\{k\vert a_{k}=b_{k}\}$ ，

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 不为常数列且各项均不相同，
故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，
所以

$M$ 中至多一个元素，故①正确；
对于②，令

$a_n=2^{n-1}$ ，

$b_n=-(-2)^{n-1}$ ，满足

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 均为等比数列，
但当

$n$ 为偶数时，

$a_n=2^{n-1}=b_n=-(-2)^{n-1}$ ，此时

$M$ 中有无穷多个元素，故②错误；
对于③，设

$b_n=Aq^n(Aq\ne 0,q\ne \pm 1)$ ，

$a_{n}=kn+b(k\ne 0)$ ，
若

$M$ 中至少四个元素，则关于

$n$ 的方程

$Aq^{n}=kn+b$ 至少有4个不同的正数解，
若

$q < 0$ ，

$q\ne \pm 1$ ，考虑关于

$n$ 的方程

$Aq^{n}=kn+b$ 奇数解的个数和偶数解的个数，
当

$Aq^{n}=kn+b$ 有偶数解，此方程即为

$A\vert q\vert ^{n}=kn+b$ ，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时

$Ak\ln \vert q\vert > 0$ ，
否则

$Ak\ln \vert q\vert < 0$ ，因为

$y=A\vert q\vert ^{n}$ ，

$y=kn+b$ 单调性相反，
方程

$A\vert q\vert ^{n}=kn+b$ 至多一个偶数解，
当

$Aq^{n}=kn+b$ 有奇数解，此方程即为

$-A\vert q\vert ^{n}=kn+b$ ，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时

$-Ak\ln \vert q\vert > 0$ ，即

$Ak\ln \vert q\vert < 0$ ，
否则

$Ak\ln \vert q\vert > 0$ ，
因为

$y=-A\vert q\vert ^{n}$ ，

$y=kn+b$ 单调性相反，
方程

$A\vert q\vert ^{n}=kn+b$ 至多一个奇数解，
因为

$Ak\ln \vert q\vert > 0$ ，

$Ak\ln \vert q\vert < 0$ 不可能同时成立，
若

$q > 0$ ，

$q\ne 1$ ，
则由

$y=Aq^{n}$ 和

$y=kn+b$ 的散点图可得关于

$n$ 的方程

$Aq^{n}=kn+b$ 至多有两个不同的解，矛盾；
故

$Aq^{n}=kn+b$ 不可能有4个不同的正数解，故③正确．
对于④，因为

$\{a_{n}\}$ 为单调递增，

$\{b_{n}\}$ 为递减数列，

$M=\{k\vert a_{k}=b_{k}\}$ ，

$\{a_{n}\}$ ，

$\{b_{n}\}$ 不为常数列且各项均不相同，
前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，
两者至多一个交点，故④正确．
故答案为：①③④．
点评：本题主要考查等差、等比的性质，考查转化能力，属于难题．

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