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2024年高考数学北京14<-->2024年高考数学北京16
（5分）已知$M=\{k\vert a_{k}=b_{k}\}$，$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$不为常数列且各项均不相同，下列正确的是____．
①$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$均为等差数列，则$M$中最多一个元素；
②$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$均为等比数列，则$M$中最多三个元素；
③$\{a_{n}\}$为等差数列，$\{b_{n}\}$为等比数列，则$M$中最多三个元素；
④$\{a_{n}\}$单调递增，$\{b_{n}\}$单调递减，则$M$中最多一个元素．
分析：根据散点图的特征可判断①④的正误，举出反例可判断②的正误，由通项公式的特征以及反证法，即可判断③的正误．
解：对于①，$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$均为等差数列，$M=\{k\vert a_{k}=b_{k}\}$，$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$不为常数列且各项均不相同，
故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，
所以$M$中至多一个元素，故①正确；
对于②，令$a_n=2^{n-1}$，$b_n=-(-2)^{n-1}$，满足$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$均为等比数列，
但当$n$为偶数时，$a_n=2^{n-1}=b_n=-(-2)^{n-1}$，此时$M$中有无穷多个元素，故②错误；
对于③，设$b_n=Aq^n(Aq\ne 0,q\ne \pm 1)$，$a_{n}=kn+b(k\ne 0)$，
若$M$中至少四个元素，则关于$n$的方程$Aq^{n}=kn+b$至少有4个不同的正数解，
若$q < 0$，$q\ne \pm 1$，考虑关于$n$的方程$Aq^{n}=kn+b$奇数解的个数和偶数解的个数，
当$Aq^{n}=kn+b$有偶数解，此方程即为$A\vert q\vert ^{n}=kn+b$，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时$Ak\ln \vert q\vert > 0$，
否则$Ak\ln \vert q\vert < 0$，因为$y=A\vert q\vert ^{n}$，$y=kn+b$单调性相反，
方程$A\vert q\vert ^{n}=kn+b$至多一个偶数解，
当$Aq^{n}=kn+b$有奇数解，此方程即为$-A\vert q\vert ^{n}=kn+b$，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时$-Ak\ln \vert q\vert > 0$，即$Ak\ln \vert q\vert < 0$，
否则$Ak\ln \vert q\vert > 0$，
因为$y=-A\vert q\vert ^{n}$，$y=kn+b$单调性相反，
方程$A\vert q\vert ^{n}=kn+b$至多一个奇数解，
因为$Ak\ln \vert q\vert > 0$，$Ak\ln \vert q\vert < 0$不可能同时成立，
若$q > 0$，$q\ne 1$，
则由$y=Aq^{n}$和$y=kn+b$的散点图可得关于$n$的方程$Aq^{n}=kn+b$至多有两个不同的解，矛盾；
故$Aq^{n}=kn+b$不可能有4个不同的正数解，故③正确．
对于④，因为$\{a_{n}\}$为单调递增，$\{b_{n}\}$为递减数列，$M=\{k\vert a_{k}=b_{k}\}$，$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$不为常数列且各项均不相同，
前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，
两者至多一个交点，故④正确．
故答案为：①③④．
点评：本题主要考查等差、等比的性质，考查转化能力，属于难题．
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