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2024年高考数学北京7

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（4分）记水的质量为

$d=\dfrac{S-1}{\ln n}$ ，并且

$d$ 越大，水质量越好．若

$S$ 不变，且

$d_{1}=2.1$ ，

$d_{2}=2.2$ ，则

$n_{1}$ 与

$n_{2}$ 的关系为(　　)
A．

$n_{1} < n_{2}$
B．

$n_{1} > n_{2}$
C．若

$S < 1$ ，则

$n_{1} < n_{2}$ ；若

$S > 1$ ，则

$n_{1} > n_{2}$
D．若

$S < 1$ ，则

$n_{1} > n_{2}$ ；若

$S > 1$ ，则

$n_{1} < n_{2}$
答案：

$C$
分析：根据已知条件，推得

$\left\{\begin{array}{l}{{n}_{1}={e}^{\dfrac{S-1}{2.1}}}\\ {{n}_{2}={e}^{\dfrac{S-1}{2.2}}}\end{array}\right.$ ，再结合

$S$ 的大小，以及指数函数的单调性，即可求解．
解：水的质量为

$d=\dfrac{S-1}{\ln n}$ ，

$d_{1}=2.1$ ，

$d_{2}=2.2$ ，
则

$\left\{\begin{array}{l}{{d}_{1}=\dfrac{S-1}{\ln {n}_{1}}=2.1}\\ {{d}_{2}=\dfrac{S-1}{\ln {n}_{2}}=2.2}\end{array}\right.$ ，解得

$\left\{\begin{array}{l}{{n}_{1}={e}^{\frac{S-1}{2.1}}}\\ {{n}_{2}={e}^{\frac{S-1}{2.2}}}\end{array}\right.$ ，
若

$S > 1$ ，
则

$\dfrac{S-1}{2.1} > \dfrac{S-1}{2.2}$ ，

$y=e^{x}$ 在

$R$ 上单调递增，
所以

$n_{1} > n_{2}$ ，
若

$S=1$ ，则

$\dfrac{S-1}{2.1}=\dfrac{S-1}{2.2}=0$ ，

$y=e^{x}$ 在

$R$ 上单调递增，
所以

$n_{1}=n_{2}=1$ ；
若

$S < 1$ ，则

$\dfrac{S-1}{2.1} < \dfrac{S-1}{2.2}$ ，

$y=e^{x}$ 在

$R$ 上单调递增，
所以

$n_{1} < n_{2}$ ，
结合选项可知

$C$ 正确，

$ABD$ 错误．
故选：

$C$ ．
点评：本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．

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