2024年高考数学北京13

（5分）已知双曲线

$\dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ ，则过

$(3,0)$ 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为____．
分析：根据已知条件，设出直线方程，再与双曲线方程联立，再分类讨论，并结合判别式，即可求解．
解：由题意可设直线方程为

$x=my+3$ ，
联立

$\left\{\begin{array}{l}{x=my+3}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$ ，化简整理可得，

$(m^{2}-4)y^{2}+6my+5=0$ ，
当

$m^{2}-4=0$ 时，解得

$m=\pm 2$ ，
此时直线为

$y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}$ 或

$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$ ，符合题意，
当

$m^{2}-4\ne 0$ 时，
△

$=(6m)^{2}-4\times 5\times (m^{2}-4)=16m^{2}+40 > 0$ ，
故该直线与抛物线有两个交点，不符合题意，舍去，
综上所述，直线的斜率为

$\pm \dfrac{1}{2}$ ．
故答案为：

$\pm \dfrac{1}{2}$ ．
点评：本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．

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