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2022年高考数学乙卷-理1(5分)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则( )
A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理2(5分)已知z=1−2i,且z+a¯z+b=0,其中a,b为实数,则( )
A.a=1,b=−2 B.a=−1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=−1,b=−2【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理3(5分)已知向量→a,→b满足|→a|=1,|→b|=√3,|→a−2→b|=3,则→a⋅→b=( )
A.−2 B.−1 C.1 D.2【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理4(5分)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{bn}:b1=1+1a1,b2=1+1a1+1a2,b3=1+1a1+1a2+1a3,…,依此类推,其中ak∈N∗(k=1,2,…).则( )
A.b1<b5 B.b3<b8 C.b6<b2 D.b4<b7【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理5(5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )
A.2 B.2√2 C.3 D.3√2【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理6(5分)执行如图的程序框图,输出的n=( )

A.3 B.4 C.5 D.6【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理7(5分)在正方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则( )
A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF//平面A1AC D.平面B1EF//平面A1C1D【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理8(5分)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2−a5=42,则a6=( )
A.14 B.12 C.6 D.3【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理9(5分)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为( )
A.13 B.12 C.√33 D.√22【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理10(5分)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理16(5分)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是____.
【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理17(12分)记ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cosA=2531,求ΔABC的周长.【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理18(12分)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.
(1)证明:平面BED⊥平面ACD;
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60∘,点F在BD上,当ΔAFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.
【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理19(12分)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
样本号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 总和 | 根部横截面积xi | 0.04 | 0.06 | 0.04 | 0.08 | 0.08 | 0.05 | 0.05 | 0.07 | 0.07 | 0.06 | 0.6 | 材积量yi | 0.25 | 0.40 | 0.22 | 0.54 | 0.51 | 0.34 | 0.36 | 0.46 | 0.42 | 0.40 | 3.9 |
并计算得10∑i=1x2i=0.038,10∑i=1y2i=1.6158,10∑i=1xiyi=0.2474.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数r=n∑i=1(xi−¯x)(yi−¯y)√n∑i=1(xi−¯x)2n∑i=1(yi−¯y)2,√1.896≈1.377.【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理20(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,−2),B(32,−1)两点.
(1)求E的方程;
(2)设过点P(1,−2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足→MT=→TH.证明:直线HN过定点.【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理21(12分)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe−x.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理22[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{x=√3cos2t,y=2sint(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π3)+m=0.
(1)写出l的直角坐标方程;
(2)若l与C有公共点,求m的取值范围.
分析:(1)由ρsin(θ+π3)+m=0,展开两角和的正弦,结合极坐标与直角坐标的互化公式,可得l的直角坐标方程;
(2)化曲线C的参数方程为普通方程,联立直线方程与曲线C的方程,化为关于y的一元二次方程,再求解m的取值范围.
解答:解:(1)由ρsin(θ+π3)+m=0,得ρ(sinθcosπ3+cosθsinπ3)+m=0,
∴12ρsinθ+√32ρcosθ+m=0,
又x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴12y+√32x+m=0,
即l的直角坐标方程为√3x+y+2m=0;
(2)由曲线C的参数方程为{x=√3cos2t,y=2sint(t为参数).
消去参数t,可得y2=−2√33x+2,
联立{√3x+y+2m=0y2=−2√33x+2,得3y2−2y−4m−6=0(−2⩽.
\therefore 4m=3y^{2}-2y-6,
令g(y)=3y^{2}-2y-6(-2\leqslant y\leqslant 2),
可得g(y)_{min}=g(\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}-6=-\dfrac{19}{3},当y=-2时,g(y)_{max}=g(-2)=10,
\therefore -\dfrac{19}{3}\leqslant 4m\leqslant 10,-\dfrac{19}{12}\leqslant m\leqslant \dfrac{5}{2},
\therefore m的取值范围是[-\dfrac{19}{12},\dfrac{5}{2}].
点评:本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,考查直线与抛物线位置关系的应用,是中档题.【答案详解】 |
2022年高考数学乙卷-理23[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知a,b,c都是正数,且{a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}=1,证明:
(1)abc\leqslant \dfrac{1}{9};
(2)\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}.
分析:结合基本不等式与恒成立问题证明即可.
解答:解:(1)证明:\because a,b,c都是正数,
\therefore{a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}\geqslant 3\sqrt{abc},当且仅当a=b=c={3}^{-\dfrac{2}{3}}时,等号成立.
因为{a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}=1,
所以1\geqslant 3(abc){}^{\dfrac{1}{2}},
所以\dfrac{1}{3}\geqslant (abc){}^{\dfrac{1}{2}},
所以abc\leqslant \dfrac{1}{9},得证.
(2)根据基本不等式b+c\geqslant 2\sqrt{bc},a+c\geqslant 2\sqrt{ac},a+b\geqslant 2\sqrt{ab},
\therefore\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\leqslant \dfrac{a}{2\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{2\sqrt{ac}}+\dfrac{c}{2\sqrt{ab}}=\dfrac{{a}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}+\dfrac{{b}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}+\dfrac{{c}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}=\dfrac{{a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}=\dfrac{1}{2\sqrt{abc}},
当且仅当a=b=c时等号成立,故得证.
点评:本题考查基本不等式的应用,属于中档题.【答案详解】 |
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