2022年全国乙理

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2022年高考数学乙卷-理1（5分）设全集

$U=\{1$ ，2，3，4，

$5\}$ ，集合

$M$ 满足

$\complement _{U}M=\{1$ ，

$3\}$ ，则(　　)
A．

$2\in M$ B．

$3\in M$ C．

$4\notin M$ D．

$5\notin M$ 【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理2（5分）已知

$z=1-2i$ ，且

$z+a\overline{z}+b=0$ ，其中

$a$ ，

$b$ 为实数，则(　　)
A．

$a=1$ ，

$b=-2$ B．

$a=-1$ ，

$b=2$ C．

$a=1$ ，

$b=2$ D．

$a=-1$ ，

$b=-2$ 【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理3（5分）已知向量

$\overrightarrow{a}$ ，

$\overrightarrow{b}$ 满足

$\vert \overrightarrow{a}\vert =1$ ，

$\vert \overrightarrow{b}\vert =\sqrt{3}$ ，

$\vert \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\vert =3$ ，则

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=($ 　　)
A．

$-2$ B．

$-1$ C．1 D．2【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理4（5分）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列

$\{b_{n}\}:b_{1}=1+\dfrac{1}{{a}_{1}}$ ，

$b_{2}=1+\dfrac{1}{{a}_{1}+\dfrac{1}{{a}_{2}}}$ ，

$b_{3}=1+\dfrac{1}{{a}_{1}+\dfrac{1}{{a}_{2}+\dfrac{1}{{a}_{3}}}}$ ，

$\ldots$ ，依此类推，其中

$a_{k}\in N^{*}(k=1$ ，2，

$\ldots )$ ．则(　　)
A．

$b_{1} < b_{5}$ B．

$b_{3} < b_{8}$ C．

$b_{6} < b_{2}$ D．

$b_{4} < b_{7}$ 【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理5（5分）设

$F$ 为抛物线

$C:y^{2}=4x$ 的焦点，点

$A$ 在

$C$ 上，点

$B(3,0)$ ，若

$\vert AF\vert =\vert BF\vert$ ，则

$\vert AB\vert =($ 　　)
A．2 B．

$2\sqrt{2}$ C．3 D．

$3\sqrt{2}$ 【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理6（5分）执行如图的程序框图，输出的

$n=($ 　　)

A．3 B．4 C．5 D．6【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理7（5分）在正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$E$ ，

$F$ 分别为

$AB$ ，

$BC$ 的中点，则(　　)
A．平面

$B_{1}EF\bot$ 平面

$BDD_{1}$ B．平面

$B_{1}EF\bot$ 平面

$A_{1}BD$
C．平面

$B_{1}EF//$ 平面

$A_{1}AC$ D．平面

$B_{1}EF//$ 平面

$A_{1}C_{1}D$ 【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理8（5分）已知等比数列

$\{a_{n}\}$ 的前3项和为168，

$a_{2}-a_{5}=42$ ，则

$a_{6}=($ 　　)
A．14 B．12 C．6 D．3【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理9（5分）已知球

$O$ 的半径为1，四棱锥的顶点为

$O$ ，底面的四个顶点均在球

$O$ 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　)
A．

$\dfrac{1}{3}$ B．

$\dfrac{1}{2}$ C．

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ D．

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理10（5分）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为

$p_{1}$ ，

$p_{2}$ ，

$p_{3}$ ，且

$p_{3} > p_{2} > p_{1} > 0$ ．记该棋手连胜两盘的概率为

$p$ ，则(　　)
A．

$p$ 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，

$p$ 最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，

$p$ 最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，

$p$ 最大【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理11（5分）双曲线

$C$ 的两个焦点为

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ ，以

$C$ 的实轴为直径的圆记为

$D$ ，过

$F_{1}$ 作

$D$ 的切线与

$C$ 交于

$M$ ，

$N$ 两点，且

$\cos \angle F_{1}NF_{2}=\dfrac{3}{5}$ ，则

$C$ 的离心率为(　　)
A．

$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ B．

$\dfrac{3}{2}$ C．

$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$ D．

$\dfrac{\sqrt{17}}{2}$ 【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理12（5分）已知函数

$f(x)$ ，

$g(x)$ 的定义域均为

$R$ ，且

$f(x)+g(2-x)=5$ ，

$g(x)-f(x-4)=7$ ．若

$y=g(x)$ 的图像关于直线

$x=2$ 对称，

$g$ （2）

$=4$ ，则

$\sum\limits _{k=1}^{22}f(k)=($ 　　)
A．

$-21$ B．

$-22$ C．

$-23$ D．

$-24$ 【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理13（5分）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为　____．【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理14（5分）过四点

$(0,0)$ ，

$(4,0)$ ，

$(-1,1)$ ，

$(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为____．
【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理15（5分）记函数

$f(x)=\cos (\omega x+\varphi )(\omega > 0$ ，

$0 < \varphi < \pi )$ 的最小正周期为

$T$ ．若

$f(T)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$x=\dfrac{\pi }{9}$ 为

$f(x)$ 的零点，则

$\omega$ 的最小值为____．
【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理16（5分）已知

$x=x_{1}$ 和

$x=x_{2}$ 分别是函数

$f(x)=2a^{x}-ex^{2}(a > 0$ 且

$a\ne 1)$ 的极小值点和极大值点．若

$x_{1} < x_{2}$ ，则

$a$ 的取值范围是____．
【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理17（12分）记

$\Delta ABC$ 的内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，已知

$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$ ．
（1）证明：

$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ；
（2）若

$a=5$ ，

$\cos A=\dfrac{25}{31}$ ，求

$\Delta ABC$ 的周长．【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理18（12分）如图，四面体

$ABCD$ 中，

$AD\bot CD$ ，

$AD=CD$ ，

$\angle ADB=\angle BDC$ ，

$E$ 为

$AC$ 的中点．
（1）证明：平面

$BED\bot$ 平面

$ACD$ ；
（2）设

$AB=BD=2$ ，

$\angle ACB=60^\circ$ ，点

$F$ 在

$BD$ 上，当

$\Delta AFC$ 的面积最小时，求

$CF$ 与平面

$ABD$ 所成的角的正弦值．

【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理19（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：

$m^{2})$ 和材积量（单位：

$m^{3})$ ，得到如下数据：

样本号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总和
根部横截面积 $x_{i}$	0.04	0.06	0.04	0.08	0.08	0.05	0.05	0.07	0.07	0.06	0.6
材积量 $y_{i}$	0.25	0.40	0.22	0.54	0.51	0.34	0.36	0.46	0.42	0.40	3.9

并计算得

$\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=0.038$ ，

$\sum\limits_{i=1}^{10}y_{i}^{2}=1.6158$ ，

$\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}y_{i}=0.2474$ ．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到

$0.01)$ ；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为

$186m^{2}$ ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数

$r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n{({{x_i}-\overline{x}})}({{y_i}-\overline{y}})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{{({{x_i}-\overline{x}})}^2}\sum\limits_{i=1}^n{{({{y_i}-\overline{y}})}^2}}}$ ，

$\sqrt{1.896}\approx 1.377$ ．【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理20（12分）已知椭圆

$E$ 的中心为坐标原点，对称轴为

$x$ 轴、

$y$ 轴，且过

$A(0,-2)$ ，

$B(\dfrac{3}{2}$ ，

$-1)$ 两点．
（1）求

$E$ 的方程；
（2）设过点

$P(1,-2)$ 的直线交

$E$ 于

$M$ ，

$N$ 两点，过

$M$ 且平行于

$x$ 轴的直线与线段

$AB$ 交于点

$T$ ，点

$H$ 满足

$\overrightarrow{MT}=\overrightarrow{TH}$ ．证明：直线

$HN$ 过定点．【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理21（12分）已知函数

$f(x)=\ln (1+x)+axe^{-x}$ ．
（1）当

$a=1$ 时，求曲线

$y=f(x)$ 在点

$(0$ ，

$f(0))$ 处的切线方程；
（2）若

$f(x)$ 在区间

$(-1,0)$ ，

$(0,+\infty )$ 各恰有一个零点，求

$a$ 的取值范围．【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理22[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
（10分）在直角坐标系

$xOy$ 中，曲线

$C$ 的参数方程为

$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos 2t,\\ y=2\sin t\end{array}\right.(t$ 为参数）．以坐标原点为极点，

$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线

$l$ 的极坐标方程为

$\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{3})+m=0$ ．
（1）写出

$l$ 的直角坐标方程；
（2）若

$l$ 与

$C$ 有公共点，求

$m$ 的取值范围．
分析：（1）由

$\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{3})+m=0$ ，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得

$l$ 的直角坐标方程；
（2）化曲线

$C$ 的参数方程为普通方程，联立直线方程与曲线

$C$ 的方程，化为关于

$y$ 的一元二次方程，再求解

$m$ 的取值范围．
解答：解：（1）由

$\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{3})+m=0$ ，得

$\rho (\sin \theta \cos \dfrac{\pi }{3}+\cos \theta \sin \dfrac{\pi }{3})+m=0$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{2}\rho \sin \theta +\dfrac{\sqrt{3}}{2}\rho \cos \theta +m=0$ ，
又

$x=\rho \cos \theta$ ，

$y=\rho \sin \theta$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{2}y+\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+m=0$ ，
即

$l$ 的直角坐标方程为

$\sqrt{3}x+y+2m=0$ ；
（2）由曲线

$C$ 的参数方程为

$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos 2t,\\ y=2\sin t\end{array}\right.(t$ 为参数）．
消去参数

$t$ ，可得

${y}^{2}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}x+2$ ，
联立

$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y+2m=0}\\ {{y}^{2}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}x+2}\end{array}\right.$ ，得

$3y^{2}-2y-4m-6=0(-2\leqslant y\leqslant 2)$ ．

$\therefore 4m=3y^{2}-2y-6$ ，
令

$g(y)=3y^{2}-2y-6(-2\leqslant y\leqslant 2)$ ，
可得

$g(y)_{min}=g(\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}-6=-\dfrac{19}{3}$ ，当

$y=-2$ 时，

$g(y)_{max}=g(-2)=10$ ，

$\therefore -\dfrac{19}{3}\leqslant 4m\leqslant 10$ ，

$-\dfrac{19}{12}\leqslant m\leqslant \dfrac{5}{2}$ ，

$\therefore m$ 的取值范围是

$[-\dfrac{19}{12}$ ，

$\dfrac{5}{2}]$ ．
点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．【答案详解】

2022年高考数学乙卷-理23[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知

$a$ ，

$b$ ，

$c$ 都是正数，且

${a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}=1$ ，证明：
（1）

$abc\leqslant \dfrac{1}{9}$ ；
（2）

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}$ ．
分析：结合基本不等式与恒成立问题证明即可．
解答：解：（1）证明：

$\because a$ ，

$b$ ，

$c$ 都是正数，

$\therefore$

${a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}\geqslant 3\sqrt{abc}$ ，当且仅当

$a=b=c={3}^{-\dfrac{2}{3}}$ 时，等号成立．
因为

${a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}=1$ ，
所以

$1\geqslant 3(abc){}^{\dfrac{1}{2}}$ ，
所以

$\dfrac{1}{3}\geqslant (abc){}^{\dfrac{1}{2}}$ ，
所以

$abc\leqslant \dfrac{1}{9}$ ，得证．
（2）根据基本不等式

$b+c\geqslant 2\sqrt{bc}$ ，

$a+c\geqslant 2\sqrt{ac}$ ，

$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\leqslant \dfrac{a}{2\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{2\sqrt{ac}}+\dfrac{c}{2\sqrt{ab}}=\dfrac{{a}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}+\dfrac{{b}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}+\dfrac{{c}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}=\dfrac{{a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}=\dfrac{1}{2\sqrt{abc}}$ ，
当且仅当

$a=b=c$ 时等号成立，故得证．
点评：本题考查基本不等式的应用，属于中档题．【答案详解】

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