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2022年高考数学乙卷-理11<-->2022年高考数学乙卷-理13
（5分）已知函数$f(x)$，$g(x)$的定义域均为$R$，且$f(x)+g(2-x)=5$，$g(x)-f(x-4)=7$．若$y=g(x)$的图像关于直线$x=2$对称，$g$（2）$=4$，则$\sum _{k=1}^{22}f(k)=($ )
A．$-21$ B．$-22$ C．$-23$ D．$-24$
分析：由$y=g(x)$的对称性可得$f(x)$为偶函数，进而得到$f(x)$关于点$(-1,-1)$中心对称，所以$f$（1）$=f(-1)=-1$，再结合$f(x)$的周期为4，即可求出结果．
解答：解：$\because y=g(x)$的图像关于直线$x=2$对称，则$g(2-x)=g(2+x)$，
$\because f(x)+g(2-x)=5$，$\therefore f(-x)+g(2+x)=5$，$\therefore f(-x)=f(x)$，故$f(x)$为偶函数，
$\because g$（2）$=4$，$f(0)+g$（2）$=5$，得$f(0)=1$．由$g(x)-f(x-4)=7$，得$g(2-x)=f(-x-2)+7$，代入$f(x)+g(2-x)=5$，得$f(x)+f(-x-2)=-2$，故$f(x)$关于点$(-1,-1)$中心对称，
$\therefore f$（1）$=f(-1)=-1$，由$f(x)+f(-x-2)=-2$，$f(-x)=f(x)$，得$f(x)+f(x+2)=-2$，
$\therefore f(x+2)+f(x+4)=-2$，故$f(x+4)=f(x)$，$f(x)$周期为4，
由$f(0)+f$（2）$=-2$，得$f$（2）$=-3$，又$f$（3）$=f(-1)=f$（1）$=-1$，
所以$\sum\limits _{k=1}^{22}f(k)=6f$（1）$+6f$（2）$+5f$（3）$+5f$（4）$=11\times (-1)+5\times 1+6\times (-3)=-24$，
故选：$D$．
点评：本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
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