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2022年高考数学乙卷-理10<-->2022年高考数学乙卷-理12
（5分）双曲线$C$的两个焦点为$F_{1}$，$F_{2}$，以$C$的实轴为直径的圆记为$D$，过$F_{1}$作$D$的切线与$C$交于$M$，$N$两点，且$\cos \angle F_{1}NF_{2}=\dfrac{3}{5}$，则$C$的离心率为( )
A．$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ B．$\dfrac{3}{2}$ C．$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$ D．$\dfrac{\sqrt{17}}{2}$
分析：当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$，设过$F_{1}$的切线与圆$D:x^{2}+y^{2}=a^{2}$相切于点$P$，从而可求得$\vert PF_{1}\vert$，过点$F_{2}$作$F_{2}Q\bot MN$于点$Q$，由中位线的性质可求得$\vert F_{1}Q\vert$，$\vert QF_{2}\vert$，在$\rm{Rt}\Delta QNF_{2}$中，可求得$\vert NF_{2}\vert$，$\vert NQ\vert$，利用双曲线的定义可得$a$，$b$的关系，再由离心率公式求解即可．情况二当直线与双曲线交于一支时，同理可求得离心率．
解：当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$，
设过$F_{1}$的切线与圆$D:x^{2}+y^{2}=a^{2}$相切于点$P$，
则$\vert OP\vert =a$，$OP\bot PF_{1}$，又$\vert OF_{1}\vert =c$，
所以$PF_{1}=\sqrt{O{{F}_{1}}^{2}-O{P}^{2}}=\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=b$，
过点$F_{2}$作$F_{2}Q\bot MN$于点$Q$，
所以$OP//F_{2}Q$，又$O$为$F_{1}F_{2}$的中点，
所以$\vert F_{1}Q\vert =2\vert PF_{1}\vert =2b$，$\vert QF_{2}\vert =2\vert OP\vert =2a$，
因为$\cos \angle F_{1}NF_{2}=\dfrac{3}{5}$，$\angle F_{1}NF_{2} < \dfrac{\pi }{2}$，所以$\sin \angle F_{1}NF_{2}=\dfrac{4}{5}$，
所以$\vert NF_{2}\vert =\dfrac{Q{F}_{2}}{\sin \angle {F}_{1}N{F}_{2}}=\dfrac{5a}{2}$，则$\vert NQ\vert =\vert NF_{2}\vert \cdot \cos \angle F_{1}NF_{2}=\dfrac{3a}{2}$，
所以$\vert NF_{1}\vert =\vert NQ\vert +\vert F_{1}Q\vert =\dfrac{3a}{2}+2b$，
由双曲线的定义可知$\vert NF_{1}\vert -\vert NF_{2}\vert =2a$，
所以$\dfrac{3a}{2}+2b-\dfrac{5a}{2}=2a$，可得$2b=3a$，即$\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{2}$，
所以$C$的离心率$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1+\dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1+\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为$A$，连接$OA$，则$\vert OA\vert =a$，$\vert F_{1}A\vert =b$，
过$F_{2}$作$F_{2}B\bot MN$于$B$，则$\vert F_{2}B\vert =2a$，因为$\cos \angle F_{1}NF_{2}=\dfrac{3}{5}$，所以$\vert NF_{2}\vert =\dfrac{5a}{2}$，$\vert NB\vert =\dfrac{3a}{2}$，
$\vert NF_{2}\vert -\vert NF_{1}\vert =\dfrac{5a}{2}-(\dfrac{3a}{2}-2b)=a+2b=2a$，即$a=2b$，
所以$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1+\dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，$A$正确．
故选：$AC$．
点评：本题主要考查双曲线的性质，圆的性质，考查转化思想与数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．
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