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2022年高考数学乙卷-理11

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（5分）双曲线

$C$ 的两个焦点为

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ ，以

$C$ 的实轴为直径的圆记为

$D$ ，过

$F_{1}$ 作

$D$ 的切线与

$C$ 交于

$M$ ，

$N$ 两点，且

$\cos \angle F_{1}NF_{2}=\dfrac{3}{5}$ ，则

$C$ 的离心率为(　　)
A．

$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ B．

$\dfrac{3}{2}$ C．

$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$ D．

$\dfrac{\sqrt{17}}{2}$
分析：当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$ ，设过

$F_{1}$ 的切线与圆

$D:x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 相切于点

$P$ ，从而可求得

$\vert PF_{1}\vert$ ，过点

$F_{2}$ 作

$F_{2}Q\bot MN$ 于点

$Q$ ，由中位线的性质可求得

$\vert F_{1}Q\vert$ ，

$\vert QF_{2}\vert$ ，在

$\rm{Rt}\Delta QNF_{2}$ 中，可求得

$\vert NF_{2}\vert$ ，

$\vert NQ\vert$ ，利用双曲线的定义可得

$a$ ，

$b$ 的关系，再由离心率公式求解即可．情况二当直线与双曲线交于一支时，同理可求得离心率．
解：当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$ ，

设过

$F_{1}$ 的切线与圆

$D:x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 相切于点

$P$ ，
则

$\vert OP\vert =a$ ，

$OP\bot PF_{1}$ ，又

$\vert OF_{1}\vert =c$ ，
所以

$PF_{1}=\sqrt{O{{F}_{1}}^{2}-O{P}^{2}}=\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=b$ ，
过点

$F_{2}$ 作

$F_{2}Q\bot MN$ 于点

$Q$ ，
所以

$OP//F_{2}Q$ ，又

$O$ 为

$F_{1}F_{2}$ 的中点，
所以

$\vert F_{1}Q\vert =2\vert PF_{1}\vert =2b$ ，

$\vert QF_{2}\vert =2\vert OP\vert =2a$ ，
因为

$\cos \angle F_{1}NF_{2}=\dfrac{3}{5}$ ，

$\angle F_{1}NF_{2} < \dfrac{\pi }{2}$ ，所以

$\sin \angle F_{1}NF_{2}=\dfrac{4}{5}$ ，
所以

$\vert NF_{2}\vert =\dfrac{Q{F}_{2}}{\sin \angle {F}_{1}N{F}_{2}}=\dfrac{5a}{2}$ ，则

$\vert NQ\vert =\vert NF_{2}\vert \cdot \cos \angle F_{1}NF_{2}=\dfrac{3a}{2}$ ，
所以

$\vert NF_{1}\vert =\vert NQ\vert +\vert F_{1}Q\vert =\dfrac{3a}{2}+2b$ ，
由双曲线的定义可知

$\vert NF_{1}\vert -\vert NF_{2}\vert =2a$ ，
所以

$\dfrac{3a}{2}+2b-\dfrac{5a}{2}=2a$ ，可得

$2b=3a$ ，即

$\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{2}$ ，
所以

$C$ 的离心率

$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1+\dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1+\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$ ．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为

$A$ ，连接

$OA$ ，则

$\vert OA\vert =a$ ，

$\vert F_{1}A\vert =b$ ，

过

$F_{2}$ 作

$F_{2}B\bot MN$ 于

$B$ ，则

$\vert F_{2}B\vert =2a$ ，因为

$\cos \angle F_{1}NF_{2}=\dfrac{3}{5}$ ，所以

$\vert NF_{2}\vert =\dfrac{5a}{2}$ ，

$\vert NB\vert =\dfrac{3a}{2}$ ，

$\vert NF_{2}\vert -\vert NF_{1}\vert =\dfrac{5a}{2}-(\dfrac{3a}{2}-2b)=a+2b=2a$ ，即

$a=2b$ ，
所以

$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1+\dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ，

$A$ 正确．
故选：

$AC$ ．
点评：本题主要考查双曲线的性质，圆的性质，考查转化思想与数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．

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