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2022年高考数学乙卷-理16

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（5分）已知

$x=x_{1}$ 和

$x=x_{2}$ 分别是函数

$f(x)=2a^{x}-ex^{2}(a > 0$ 且

$a\ne 1)$ 的极小值点和极大值点．若

$x_{1} < x_{2}$ ，则

$a$ 的取值范围是　

$(\dfrac{1}{e},1)$ 　．
分析：由已知分析函数

$f\prime (x)=2(a^{x}\ln a-ex)$ 至少应该两个变号零点，对其再求导

$f\prime \prime (x)=2a^{x}(\ln a)^{2}-2e$ ，分类讨论

$0 < a < 1$ 和

$a > 1$ 时两种情况即可得出结果．
解答：解：对原函数求导

$f\prime (x)=2(a^{x}\ln a-ex)$ ，分析可知：

$f\prime (x)$ 在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：

$f\prime \prime (x)=2a^{x}(\ln a)^{2}-2e$ ，
当

$a > 1$ 时，易知

$f\prime \prime (x)$ 在

$R$ 上单调递增，此时若存在

$x_{0}$ 使得

$f\prime \prime (x_{0})=0$ ，
则

$f\prime (x)$ 在

$(-\infty ,x_{0})$ 单调递减，

$(x_{0}$ ，

$+\infty )$ 单调递增，
此时若函数

$f(x)$ 在

$x=x_{1}$ 和

$x=x_{2}$ 分别取极小值点和极大值点，应满足

$x_{1} > x_{2}$ ，不满足题意；
当

$0 < a < 1$ 时，易知

$f\prime \prime (x)$ 在

$R$ 上单调递减，此时若存在

$x_{0}$ 使得

$f\prime \prime (x_{0})=0$ ，
则

$f\prime (x)$ 在

$(-\infty ,x_{0})$ 单调递增，

$(x_{0}$ ，

$+\infty )$ 单调递减，且

${x}_{0}=lo{g}_{a}\dfrac{e}{(\ln a)^{2}}$ ，
此时若函数

$f(x)$ 在

$x=x_{1}$ 和

$x=x_{2}$ 分别取极小值点和极大值点，且

$x_{1} < x_{2}$ ，
故仅需满足

$f\prime (x_{0}) > 0$ ，
即：

$\dfrac{e}{\ln a} > elo{g}_{a}\dfrac{e}{(\ln a)^{2}}$

$\Rightarrow$

${a}^{\dfrac{1}{\ln a}} < \dfrac{e}{(\ln a)^{2}}$

$\Rightarrow$

$\ln {a}^{\dfrac{1}{\ln a}} < \ln \dfrac{e}{(\ln a)^{2}}$

$\Rightarrow$

$\dfrac{1}{\ln a}\ln a < 1-\ln (\ln a)^{2}$ ，
解得：

$\dfrac{1}{e} < a < e$ ，又因为

$0 < a < 1$ ，故

$\dfrac{1}{e} < a < 1$
综上所述：

$a$ 的取值范围是

$(\dfrac{1}{e},1)$ ．
点评：本题主要考查利用函数的导数研究函数极值点问题，考查运算求解能力，属于中档题．

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