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2022年高考数学乙卷-理16<-->2022年高考数学乙卷-理18
（12分）记$\Delta ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$．
（1）证明：$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$；
（2）若$a=5$，$\cos A=\dfrac{25}{31}$，求$\Delta ABC$的周长．
分析：（1）利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求得结论；
（2）利用（1）中结论求出$b^{2}+c^{2}$和$2bc$的值，即可求出$\Delta ABC$的周长．
解答：（1）证明：$\Delta ABC$中，$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$，
所以$\sin C(\sin A\cos B-\cos A\sin B)=\sin B(\sin C\cos A-\cos C\sin A)$，
所以$\sin A\sin B\cos C+\sin A\cos B\sin C=2\cos A\sin B\sin C$，
即$\sin A(\sin B\cos C+\cos B\sin C)=2\cos A\sin B\sin C$，
所以$\sin A\sin (B+C)=2\cos A\sin B\sin C$，
由正弦定理得$a^{2}=2bc\cos A$，
由余弦定理得$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，
所以$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$；
（2）当$a=5$，$\cos A=\dfrac{25}{31}$时，$b^{2}+c^{2}=2\times 5^{2}=50$，$2bc=\dfrac{{a}^{2}}{\cos A}=\dfrac{25}{\dfrac{25}{31}}=31$，
所以$(b+c)^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc=50+31=81$，解得$b+c=9$，
所以$\Delta ABC$的周长为$a+b+c=5+9=14$．
点评：本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．
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