2022年高考数学乙卷-理17

（12分）记

$\Delta ABC$ 的内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，已知

$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$ ．
（1）证明：

$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ；
（2）若

$a=5$ ，

$\cos A=\dfrac{25}{31}$ ，求

$\Delta ABC$ 的周长．
分析：（1）利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求得结论；
（2）利用（1）中结论求出

$b^{2}+c^{2}$ 和

$2bc$ 的值，即可求出

$\Delta ABC$ 的周长．
解答：（1）证明：

$\Delta ABC$ 中，

$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$ ，
所以

$\sin C(\sin A\cos B-\cos A\sin B)=\sin B(\sin C\cos A-\cos C\sin A)$ ，
所以

$\sin A\sin B\cos C+\sin A\cos B\sin C=2\cos A\sin B\sin C$ ，
即

$\sin A(\sin B\cos C+\cos B\sin C)=2\cos A\sin B\sin C$ ，
所以

$\sin A\sin (B+C)=2\cos A\sin B\sin C$ ，
由正弦定理得

$a^{2}=2bc\cos A$ ，
由余弦定理得

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ ，
所以

$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ；
（2）当

$a=5$ ，

$\cos A=\dfrac{25}{31}$ 时，

$b^{2}+c^{2}=2\times 5^{2}=50$ ，

$2bc=\dfrac{{a}^{2}}{\cos A}=\dfrac{25}{\dfrac{25}{31}}=31$ ，
所以

$(b+c)^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc=50+31=81$ ，解得

$b+c=9$ ，
所以

$\Delta ABC$ 的周长为

$a+b+c=5+9=14$ ．
点评：本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．

相关知识

无相关信息

学习笔记（共有 0 条）