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2022年高考数学乙卷-理23

[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知abc都是正数,且a32+b32+c32=1,证明:
(1)abc19
(2)ab+c+ba+c+ca+b12abc
分析:结合基本不等式与恒成立问题证明即可.
解答:解:(1)证明:bc都是正数,
\therefore{a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}\geqslant 3\sqrt{abc},当且仅当a=b=c={3}^{-\dfrac{2}{3}}时,等号成立.
因为{a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}=1
所以1\geqslant 3(abc){}^{\dfrac{1}{2}}
所以\dfrac{1}{3}\geqslant (abc){}^{\dfrac{1}{2}}
所以abc\leqslant \dfrac{1}{9},得证.
(2)根据基本不等式b+c\geqslant 2\sqrt{bc}a+c\geqslant 2\sqrt{ac}a+b\geqslant 2\sqrt{ab}
\therefore\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\leqslant \dfrac{a}{2\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{2\sqrt{ac}}+\dfrac{c}{2\sqrt{ab}}=\dfrac{{a}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}+\dfrac{{b}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}+\dfrac{{c}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}=\dfrac{{a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}=\dfrac{1}{2\sqrt{abc}}
当且仅当a=b=c时等号成立,故得证.
点评:本题考查基本不等式的应用,属于中档题.
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