2022年高考数学乙卷-理15

（5分）记函数

$f(x)=\cos (\omega x+\varphi )(\omega > 0$ ，

$0 < \varphi < \pi )$ 的最小正周期为

$T$ ．若

$f(T)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$x=\dfrac{\pi }{9}$ 为

$f(x)$ 的零点，则

$\omega$ 的最小值为　3　．
分析：由题意，结合余弦函数的周期和零点，建立相关的方程求解即可．
解答：解：函数

$f(x)=\cos (\omega x+\varphi )(\omega > 0$ ，

$0 < \varphi < \pi )$ 的最小正周期为

$T=\dfrac{2\pi }{\omega }$ ，
若

$f(T)=\cos (\omega \times \dfrac{2\pi }{\omega }+\varphi )=\cos \varphi =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$0 < \varphi < \pi$ ，则

$\varphi =\dfrac{\pi }{6}$ ，
所以

$f(x)=\cos (\omega x+\dfrac{\pi }{6})$ ．
因为

$x=\dfrac{\pi }{9}$ 为

$f(x)$ 的零点，所以

$\cos (\dfrac{\omega \pi }{9}+\dfrac{\pi }{6})=0$ ，
故

$\dfrac{\omega \pi }{9}+\dfrac{\pi }{6}=k\pi +\dfrac{\pi }{2}$ ，

$k\in Z$ ，所以

$\omega =9k+3$ ，

$k\in Z$ ，
因为

$\omega > 0$ ，则

$\omega$ 的最小值为3．
故答案为：3．
点评：本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查了方程思想，属于基础题．

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