2024年高考数学上海21（18分）对于一个函数$f(x)$和一个点$M(a,b)$，定义$s(x)=(x-a)^{2}+(f(x)-b)^{2}$，若存在$P(x_{0}$，$f(x_{0}))$，使$s(x_{0})$是$s(x)$的最小值，则称点$P$是函数$f(x)$到点$M$的“最近点”．
（1）对于$f(x)=\frac{1}{x}(x > 0)$，求证：对于点$M(0,0)$，存在点$P$，使得点$P$是$f(x)$到点$M$的“最近点”；
（2）对于$f(x)=e^{x}$，$M(1,0)$，请判断是否存在一个点$P$，它是$f(x)$到点$M$的“最近点”，且直线$MP$与$f(x)$在点$P$处的切线垂直；
（3）已知$f(x)$存在导函数$f\prime (x)$，函数$g(x)$恒大于零，对于点$M_{1}(t-1$，$f(t)-g(t))$，点$M_{2}(t+1$，$f(t)+g(t))$，若对任意$t\in R$，存在点$P$同时是$f(x)$到点$M_{1}$与点$M_{2}$的“最近点”，试判断$f(x)$的单调性．【答案详解】 |
