2024年上海

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2024年高考数学上海1（4分）设全集

$U=\{1$ ，2，3，4，

$5\}$ ，集合

$A=\{2$ ，

$4\}$ ，则

$\overline{A}=$ 　

$\{1$ ，3，

$5\}$ 　．【答案详解】

2024年高考数学上海2（4分）已知

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x},x > 0}\\ {1,x\leqslant 0}\end{array}\right.$ ，则

$f$ （3）

$=$ 　

$\sqrt{3}$ 　．
【答案详解】

2024年高考数学上海3（4分）已知

$x\in R$ ，则不等式

$x^{2}-2x-3 < 0$ 的解集为　

$\{x\vert -1 < x < 3\}$ 　．
【答案详解】

2024年高考数学上海4（4分）已知

$f(x)=x^{3}+a$ ，

$x\in R$ ，且

$f(x)$ 是奇函数，则

$a=$ 　0　．【答案详解】

2024年高考数学上海5（4分）已知

$k\in R$ ，

$\overrightarrow{a}=(2,5)$ ，

$\overrightarrow{b}=(6,k),\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$ ，则

$k$ 的值为　15　．【答案详解】

2024年高考数学上海6（4分）在

$(x+1)^{n}$ 的二项展开式中，若各项系数和为32，则

$x^{2}$ 项的系数为　10　．【答案详解】

2024年高考数学上海7（5分）已知抛物线

$y^{2}=4x$ 上有一点

$P$ 到准线的距离为9，那么

$P$ 到

$x$ 轴的距离为　

$4\sqrt{2}$ 　．【答案详解】

2024年高考数学上海8（5分）某校举办科学竞技比赛，有

$A$ 、

$B$ 、

$C3$ 种题库，

$A$ 题库有5000道题，

$B$ 题库有4000道题，

$C$ 题库有3000道题．小申已完成所有题，他

$A$ 题库的正确率是0.92，

$B$ 题库的正确率是0.86，

$C$ 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是　

$\frac{17}{20}$ 　．【答案详解】

2024年高考数学上海9（5分）已知虚数

$z$ ，其实部为1，且

$z+\frac{2}{z}=m(m\in R)$ ，则实数

$m$ 为　2　．【答案详解】

2024年高考数学上海10（5分）设集合

$A$ 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值　329　．【答案详解】

2024年高考数学上海11（5分）已知点

$B$ 在点

$C$ 正北方向，点

$D$ 在点

$C$ 的正东方向，

$BC=CD$ ，存在点

$A$ 满足

$\anglele BAC=16.5^\circ$ ，

$\anglele DAC=37^\circ$ ，则

$\anglele BCA=$ 　

$7.8^\circ$ 　．（精确到0.1度）【答案详解】

2024年高考数学上海12（5分）无穷等比数列

$\{a_{n}\}$ 满足首项

$a_{1} > 0$ ，

$q > 1$ ，记

$I_{n}=\{x-y\vert x$ ，

$y\in [a_{1}$ ，

$a_{2}]\bigcup{[}a_{n}$ ，

$a_{n+1}]\}$ ，若对任意正整数

$n$ ，集合

$I_{n}$ 是闭区间，则

$q$ 的取值范围是　

$[2$ ，

$+\infty )$ 　．
【答案详解】

2024年高考数学上海13（4分）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是

$($ 　　

$)$
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案详解】

2024年高考数学上海14（4分）下列函数

$f(x)$ 的最小正周期是

$2\pi$ 的是

$($ 　　

$)$
A．

$\\sin x+\\cos x$ B．

$\\sin x\\cos x$ C．

$\\sin ^{2}x+\\cos ^{2}x$ D．

$\\sin ^{2}x-\\cos ^{2}x$ 【答案详解】

2024年高考数学上海15（5分）定义一个集合

$\Omega$ ，集合元素是空间内的点集，任取

$P_{1}$ ，

$P_{2}$ ，

$P_{3}\in \Omega$ ，存在不全为0的实数

$\lambda _{1}$ ，

$\lambda _{2}$ ，

$\lambda _{3}$ ，使得

$\lambda _1\overrightarrow{OP_1}+\lambda _2\overrightarrow{OP_2}+\lambda _3\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{0}$ ．已知

$(1$ ，0，

$0)\in \Omega$ ，则

$(0$ ，0，

$1)\notin \Omega$ 的充分条件是

$($ 　　

$)$
A．

$(0$ ，0，

$0)\in \Omega$ B．

$(-1$ ，0，

$0)\in \Omega$ C．

$(0$ ，1，

$0)\in \Omega$ D．

$(0$ ，0，

$-1)\in \Omega$ 【答案详解】

2024年高考数学上海16（5分）已知函数

$f(x)$ 的定义域为

$R$ ，定义集合

$M=\{x_{0}\vert x_{0}\in R$ ，

$x\in (-\infty ,x_{0})$ ，

$f(x) < f(x_{0})\}$ ，在使得

$M=[-1$ ，

$1]$ 的所有

$f(x)$ 中，下列成立的是

$($ 　　

$)$
A．存在

$f(x)$ 是偶函数
B．存在

$f(x)$ 在

$x=2$ 处取最大值
C．存在

$f(x)$ 为严格增函数
D．存在

$f(x)$ 在

$x=-1$ 处取到极小值【答案详解】

2024年高考数学上海17（14分）如图为正四棱锥

$P-ABCD$ ，

$O$ 为底面

$ABCD$ 的中心．
（1）若

$AP=5$ ，

$AD=3\sqrt{2}$ ，求

$\Delta POA$ 绕

$PO$ 旋转一周形成的几何体的体积；
（2）若

$AP=AD$ ，

$E$ 为

$PB$ 的中点，求直线

$BD$ 与平面

$AEC$ 所成角的大小．

【答案详解】

2024年高考数学上海18（14分）已知

$f(x)=\log _{a}x(a > 0,a\ne 1)$ ．
（1）若

$y=f(x)$ 过

$(4,2)$ ，求

$f(2x-2) < f(x)$ 的解集；
（2）存在

$x$ 使得

$f(x+1)$ 、

$f(ax)$ 、

$f(x+2)$ 成等差数列，求

$a$ 的取值范围．【答案详解】

2024年高考数学上海19（14分）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围

$[0$ ，

$0.5)$

$[0.5$ ，

$1)$

$[1$ ，

$1.5)$

$[1.5$ ，

$2)$

$[2$ ，

$2.5)$

学业成绩

优秀
5
44
42
3
1

不优秀
134
147
137
40
27

（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？
（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到

$0.1)$ ．
（3）是否有

$95%$ 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
【答案详解】

2024年高考数学上海20（18分）已知双曲线

$\Gamma :x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$ ，

$(b > 0)$ ，左右顶点分别为

$A_{1}$ ，

$A_{2}$ ，过点

$M(-2,0)$ 的直线

$l$ 交双曲线

$\Gamma$ 于

$P$ 、

$Q$ 两点，且点

$P$ 在第一象限．
（1）当离心率

$e=2$ 时，求

$b$ 的值；
（2）当

$b=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ ，△

$MA_{2}P$ 为等腰三角形时，求点

$P$ 的坐标；
（3）连接

$OQ$ 并延长，交双曲线

$\Gamma$ 于点

$R$ ，若

$\overrightarrow{A_1R}\cdot \overrightarrow{A_2P}=1$ ，求

$b$ 的取值范围．【答案详解】

2024年高考数学上海21（18分）对于一个函数

$f(x)$ 和一个点

$M(a,b)$ ，定义

$s(x)=(x-a)^{2}+(f(x)-b)^{2}$ ，若存在

$P(x_{0}$ ，

$f(x_{0}))$ ，使

$s(x_{0})$ 是

$s(x)$ 的最小值，则称点

$P$ 是函数

$f(x)$ 到点

$M$ 的“最近点”．
（1）对于

$f(x)=\frac{1}{x}(x > 0)$ ，求证：对于点

$M(0,0)$ ，存在点

$P$ ，使得点

$P$ 是

$f(x)$ 到点

$M$ 的“最近点”；
（2）对于

$f(x)=e^{x}$ ，

$M(1,0)$ ，请判断是否存在一个点

$P$ ，它是

$f(x)$ 到点

$M$ 的“最近点”，且直线

$MP$ 与

$f(x)$ 在点

$P$ 处的切线垂直；
（3）已知

$f(x)$ 存在导函数

$f\prime (x)$ ，函数

$g(x)$ 恒大于零，对于点

$M_{1}(t-1$ ，

$f(t)-g(t))$ ，点

$M_{2}(t+1$ ，

$f(t)+g(t))$ ，若对任意

$t\in R$ ，存在点

$P$ 同时是

$f(x)$ 到点

$M_{1}$ 与点

$M_{2}$ 的“最近点”，试判断

$f(x)$ 的单调性．【答案详解】

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