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2024年高考数学上海18

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（14分）已知

$f(x)=\log _{a}x(a > 0,a\ne 1)$ ．
（1）若

$y=f(x)$ 过

$(4,2)$ ，求

$f(2x-2) < f(x)$ 的解集；
（2）存在

$x$ 使得

$f(x+1)$ 、

$f(ax)$ 、

$f(x+2)$ 成等差数列，求

$a$ 的取值范围．

答案：（1）

$(1,2)$ ；
（2）

$(1,+\infty )$ ．
分析：（1）先求出函数解析式，再结合函数的单调性，即可求解；
（2）根据等差数列的性质，推得

$\log _{a}(x+1)+\log _{a}(x+2)=2\log _{a}(ax)$ 有解，再结合分离常数法，以及二次函数的性质，即可求解．
解：（1）由

$y=f(x)$ 过

$(4,2)$ 可得

$\log _{a}4=2$ ，
则

$a^{2}=4$ ，解得

$a=2$ （负值舍去），
因为

$f(x)=\log _{2}x$ 在

$(0,+\infty )$ 上是严格增函数，

$f(2x-2) < f(x)$ ，
则

$0 < 2x-2 < x$ ，解得

$1 < x < 2$ ，
故所求解集为

$(1,2)$ ；
（2）因为

$f(x+1)$ 、

$f(ax)$ 、

$f(x+2)$ 成等差数列，
所以

$f(x+1)+f(x+2)=2f(ax)$ ，即

$\log _{a}(x+1)+\log _{a}(x+2)=2\log _{a}(ax)$ 有解，化简可得

$\log _a(x+1)(x+2)=\log _a(ax)^2$ ，
则

$(x+1)(x+2)=(ax)^{2}$ 且

$\left\{\begin{array}{l}{x+1 > 0}\\ {x+2 > 0}\\ {a > 0,a\ne 1}\\ {ax > 0}\end{array}\right.$ ，
故

$a^2=\dfrac{(x+1)(x+2)}{x^2}$ 在

$(0,+\infty )$ 上有解，
又

$\dfrac{(x+1)(x+2)}{x^2}=\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{x}+1=2(\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{1}{8}$ ，故在

$(0,+\infty )$ 上，

$\dfrac{(x+1)(x+2)}{x^2} > 2(0+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{1}{8}=1$ ，
故

$a^{2} > 1$ ，解得

$a < -1$ 或

$a > 1$ ，
又

$a > 0$ ，所以

$a > 1$ ，
故

$a$ 的取值范围为

$(1,+\infty )$ ．
点评：本题主要考查数列与函数的综合，考查转化能力，属于中档题．

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