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（14分）已知$f(x)=\log _{a}x(a > 0,a\ne 1)$．
（1）若$y=f(x)$过$(4,2)$，求$f(2x-2) < f(x)$的解集；
（2）存在$x$使得$f(x+1)$、$f(ax)$、$f(x+2)$成等差数列，求$a$的取值范围．
答案：（1）$(1,2)$；
（2）$(1,+\infty )$．
分析：（1）先求出函数解析式，再结合函数的单调性，即可求解；
（2）根据等差数列的性质，推得$\log _{a}(x+1)+\log _{a}(x+2)=2\log _{a}(ax)$有解，再结合分离常数法，以及二次函数的性质，即可求解．
解：（1）由$y=f(x)$过$(4,2)$可得$\log _{a}4=2$，
则$a^{2}=4$，解得$a=2$（负值舍去），
因为$f(x)=\log _{2}x$在$(0,+\infty )$上是严格增函数，$f(2x-2) < f(x)$，
则$0 < 2x-2 < x$，解得$1 < x < 2$，
故所求解集为$(1,2)$；
（2）因为$f(x+1)$、$f(ax)$、$f(x+2)$成等差数列，
所以$f(x+1)+f(x+2)=2f(ax)$，即$\log _{a}(x+1)+\log _{a}(x+2)=2\log _{a}(ax)$有解，化简可得$\log _a(x+1)(x+2)=\log _a(ax)^2$，
则$(x+1)(x+2)=(ax)^{2}$且$\left\{\begin{array}{l}{x+1 > 0}\\ {x+2 > 0}\\ {a > 0,a\ne 1}\\ {ax > 0}\end{array}\right.$，
故$a^2=\dfrac{(x+1)(x+2)}{x^2}$在$(0,+\infty )$上有解，
又$\dfrac{(x+1)(x+2)}{x^2}=\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{x}+1=2(\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{1}{8}$，故在$(0,+\infty )$上，$\dfrac{(x+1)(x+2)}{x^2} > 2(0+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{1}{8}=1$，
故$a^{2} > 1$，解得$a < -1$或$a > 1$，
又$a > 0$，所以$a > 1$，
故$a$的取值范围为$(1,+\infty )$．
点评：本题主要考查数列与函数的综合，考查转化能力，属于中档题．
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