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2024年高考数学上海11<-->2024年高考数学上海13
（5分）无穷等比数列$\{a_{n}\}$满足首项$a_{1} > 0$，$q > 1$，记$I_{n}=\{x-y\vert x$，$y\in [a_{1}$，$a_{2}]\bigcup{[}a_{n}$，$a_{n+1}]\}$，若对任意正整数$n$，集合$I_{n}$是闭区间，则$q$的取值范围是 ____．
答案：$[2$，$+\infty )$．
分析：利用已知条件，通过$x$，$y$的范围，判断$x-y$的范围，结合等比数列的性质，转化求解即可．
解：不妨设$x > y$，若$x$，$y\in [a_{1}$，$a_{2}]$，则由$x-y\in [0$，$a_{2}-a_{1}]$，
若$x$，$y\in [a_{n}$，$a_{n+1}]$，则有$x-y\in [0$，$a_{n+1}-a_{n}]$，
若$x$，$y$分别属于$[a_{1}$，$a_{2}]$和$[a_{n}$，$a_{n+1}]$，则$x-y\in [a_{n}-a_{2}$，$a_{n+1}-a_{1}]$，
又因为$q > 1$，总有$I_{n}$是闭区间，则$a_{n}-a_{2}\leqslant a_{n+1}-a_{1}$恒成立，
$a_{n}-a_{2}\leqslant a_{n+1}-a_{1}$化简可得$q^{n-1}(q-2)+q\geqslant 0$，所以$q\geqslant 2$恒成立．
故答案为：$[2$，$+\infty )$．
点评：本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．
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