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2024年高考数学上海12

2024年高考数学上海11<-->2024年高考数学上海13

（5分）无穷等比数列

$\{a_{n}\}$ 满足首项

$a_{1} > 0$ ，

$q > 1$ ，记

$I_{n}=\{x-y\vert x$ ，

$y\in [a_{1}$ ，

$a_{2}]\bigcup{[}a_{n}$ ，

$a_{n+1}]\}$ ，若对任意正整数

$n$ ，集合

$I_{n}$ 是闭区间，则

$q$ 的取值范围是 ____．

答案：

$[2$ ，

$+\infty )$ ．
分析：利用已知条件，通过

$x$ ，

$y$ 的范围，判断

$x-y$ 的范围，结合等比数列的性质，转化求解即可．
解：不妨设

$x > y$ ，若

$x$ ，

$y\in [a_{1}$ ，

$a_{2}]$ ，则由

$x-y\in [0$ ，

$a_{2}-a_{1}]$ ，
若

$x$ ，

$y\in [a_{n}$ ，

$a_{n+1}]$ ，则有

$x-y\in [0$ ，

$a_{n+1}-a_{n}]$ ，
若

$x$ ，

$y$ 分别属于

$[a_{1}$ ，

$a_{2}]$ 和

$[a_{n}$ ，

$a_{n+1}]$ ，则

$x-y\in [a_{n}-a_{2}$ ，

$a_{n+1}-a_{1}]$ ，
又因为

$q > 1$ ，总有

$I_{n}$ 是闭区间，则

$a_{n}-a_{2}\leqslant a_{n+1}-a_{1}$ 恒成立，

$a_{n}-a_{2}\leqslant a_{n+1}-a_{1}$ 化简可得

$q^{n-1}(q-2)+q\geqslant 0$ ，所以

$q\geqslant 2$ 恒成立．
故答案为：

$[2$ ，

$+\infty )$ ．
点评：本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．

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