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2024年高考数学上海15<-->2024年高考数学上海17
（5分）已知函数$f(x)$的定义域为$R$，定义集合$M=\{x_{0}\vert x_{0}\in R$，$x\in (-\infty ,x_{0})$，$f(x) < f(x_{0})\}$，在使得$M=[-1$，$1]$的所有$f(x)$中，下列成立的是( )
A．存在$f(x)$是偶函数
B．存在$f(x)$在$x=2$处取最大值
C．存在$f(x)$为严格增函数
D．存在$f(x)$在$x=-1$处取到极小值
答案：$B$
分析：根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可．
解：对于$A$，$x < x_{0}$时，$f(x) < f(x_{0})$，
当$x_{0}=1$时，$x_{0}\in [-1$，$1]$，
对于任意$x\in (-\infty ,1)$，$f(x) < f$（1）恒成立，
若$f(x)$是偶函数，此时$f$（1）$=f(-1)$，矛盾，故$A$错误；
对于$B$，若$f(x)$函数图像如下：
当$x < -1$时，$f(x)=-2$，$-1\leqslant x\leqslant 1$时，$f(x)\in [-1$，$1]$，当$x > 1$，$f(x)=1$，
所以存在$f(x)$在$x=2$处取最大值，故$B$正确；
对于$C$，在$x < -1$时，若函数$f(x)$严格增，
则集合$M$的取值不会是$[-1$，$1]$，而是全体定义域，故$C$错误；
对于$D$，若存在$f(x)$在$x=-1$处取到极小值，
则在$x=-1$左侧存在$x=n$，$f(n) > -1$，与集合$M$定义矛盾，故$D$错误．
故选：$B$．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及最值等性质，属中档题．
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