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2024年高考数学上海15<-->2024年高考数学上海17
（5分）已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M={x0|x0∈R，x∈(−∞,x0)，f(x)<f(x0)}，在使得M=[−1，1]的所有f(x)中，下列成立的是( )
A．存在f(x)是偶函数
B．存在f(x)在x=2处取最大值
C．存在f(x)为严格增函数
D．存在f(x)在x=−1处取到极小值
答案：B
分析：根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可．
解：对于A，x<x0时，f(x)<f(x0)，
当x0=1时，x0∈[−1，1]，
对于任意x∈(−∞,1)，f(x)<f（1）恒成立，
若f(x)是偶函数，此时f（1）=f(−1)，矛盾，故A错误；
对于B，若f(x)函数图像如下：
当x<−1时，f(x)=−2，−1⩽x⩽1时，f(x)∈[−1，1]，当x>1，f(x)=1，
所以存在f(x)在x=2处取最大值，故B正确；
对于C，在x<−1时，若函数f(x)严格增，
则集合M的取值不会是[−1，1]，而是全体定义域，故C错误；
对于D，若存在f(x)在x=−1处取到极小值，
则在x=−1左侧存在x=n，f(n)>−1，与集合M定义矛盾，故D错误．
故选：B．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及最值等性质，属中档题．
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