2024年高考数学上海11

（5分）已知点

$B$ 在点

$C$ 正北方向，点

$D$ 在点

$C$ 的正东方向，

$BC=CD$ ，存在点

$A$ 满足

$\angle BAC=16.5^\circ$ ，

$\angle DAC=37^\circ$ ，则

$\angle BCA=$ ____．（精确到0.1度）

答案：

$7.8^\circ$ ．
分析：根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．
解：在

$\Delta ACD$ 中，根据正弦定理可得

$\dfrac{AC}{\sin \angle D}=\dfrac{CD}{\sin \angle CAD}$ ，
设

$\angle ACB=\alpha$ ，则

$\angle ACD=90^\circ -\alpha$ ，
所以

$\dfrac{AC}{\sin [180^\circ -(37^\circ +90^\circ -\alpha )]}=\dfrac{CD}{\sin 37^\circ }=\dfrac{AC}{\sin (90^\circ -\alpha +37^\circ )}$ ，①
在

$\Delta ABC$ 中，根据正弦定理可得

$\dfrac{CB}{\sin \angle BAC}=\dfrac{CA}{\sin \angle B}$ ，

$\dfrac{BC}{\sin \angle 16.5^\circ }=\dfrac{CA}{\sin [180^\circ -(\alpha +16.5^\circ )]}=\dfrac{CA}{\sin (\alpha +16.5^\circ )}$ ，②
联立①②，因为

$BC=CD$ ，
所以

$\dfrac{\sin 37^\circ }{\sin (90^\circ -\alpha +37^\circ )}=\dfrac{\sin 16.5^\circ }{\sin (\alpha +16.5^\circ )}$ ，
解得

$\angle BCA=7.8^\circ$ ．
故答案为：

$7.8^\circ$ ．

点评：本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．

相关知识

无相关信息

学习笔记（共有 0 条）