2022年全国甲理

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2022年高考数学甲卷-理1（5分）若

$z=-1+\sqrt{3}i$ ，则

$\dfrac{z}{z\overline{z}-1}=($ 　　)
A．

$-1+\sqrt{3}i$ B．

$-1-\sqrt{3}i$ C．

$-\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$ D．

$-\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$ 【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理2（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：

则(　　)
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

$70%$
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

$85%$
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理3（5分）设全集

$U=\{-2$ ，

$-1$ ，0，1，2，

$3\}$ ，集合

$A=\{-1$ ，

$2\}$ ，

$B=\{x\vert x^{2}-4x+3=0\}$ ，则

$\complement _{U}(A\bigcup B)=($ 　　)
A．

$\{1$ ，

$3\}$ B．

$\{0$ ，

$3\}$ C．

$\{-2$ ，

$1\}$ D．

$\{-2$ ，

$0\}$ 【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理4（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为(　　)

A．8 B．12 C．16 D．20【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理5（5分）函数

$y=(3^{x}-3^{-x})\cos x$ 在区间

$[-\dfrac{\pi }{2}$ ，

$\dfrac{\pi }{2}]$ 的图像大致为(　　)
A．

B．

C．

D．

【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理6（5分）当

$x=1$ 时，函数

$f(x)=a\ln x+\dfrac{b}{x}$ 取得最大值

$-2$ ，则

$f\prime$ （2）

$=($ 　　)
A．

$-1$ B．

$-\dfrac{1}{2}$ C．

$\dfrac{1}{2}$ D．1【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理7（5分）在长方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，已知

$B_{1}D$ 与平面

$ABCD$ 和平面

$AA_{1}B_{1}B$ 所成的角均为

$30^\circ$ ，则(　　)
A．

$AB=2AD$
B．

$AB$ 与平面

$AB_{1}C_{1}D$ 所成的角为

$30^\circ$
C．

$AC=CB_{1}$
D．

$B_{1}D$ 与平面

$BB_{1}C_{1}C$ 所成的角为

$45^\circ$ 【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理8（5分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，

$\widehat{AB}$ 是以

$O$ 为圆心，

$OA$ 为半径的圆弧，

$C$ 是

$AB$ 的中点，

$D$ 在

$\widehat{AB}$ 上，

$CD\bot AB$ ．“会圆术”给出

$\widehat{AB}$ 的弧长的近似值

$s$ 的计算公式：

$s=AB+\dfrac{C{D^2}}{OA}$ ．当

$OA=2$ ，

$\angle AOB=60^\circ$ 时，

$s=($ 　　)

A．

$\dfrac{11-3\sqrt{3}}{2}$ B．

$\dfrac{11-4\sqrt{3}}{2}$ C．

$\dfrac{9-3\sqrt{3}}{2}$ D．

$\dfrac{9-4\sqrt{3}}{2}$ 【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理9（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为

$2\pi$ ，侧面积分别为

${{S}_{}}$ 和

${{S}_{}}$ ，体积分别为

${{V}_{}}$ 和

${{V}_{}}$ ．若

$\dfrac{{{S}_{}}}{{{S}_{}}}=2$ ，则

$\dfrac{{{V}_{}}}{{{V}_{}}}=($ 　　)
A．

$\sqrt{5}$ B．

$2\sqrt{2}$ C．

$\sqrt{10}$ D．

$\dfrac{5\sqrt{10}}{4}$ 【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理10（5分）椭圆

$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的左顶点为

$A$ ，点

$P$ ，

$Q$ 均在

$C$ 上，且关于

$y$ 轴对称．若直线

$AP$ ，

$AQ$ 的斜率之积为

$\dfrac{1}{4}$ ，则

$C$ 的离心率为(　　)
A．

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ B．

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ C．

$\dfrac{1}{2}$ D．

$\dfrac{1}{3}$ 【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理11（5分）设函数

$f(x)=\sin (\omega x+\dfrac{\pi }{3})$ 在区间

$(0,\pi )$ 恰有三个极值点、两个零点，则

$\omega$ 的取值范围是(　　)
A．

$[\dfrac{5}{3}$ ，

$\dfrac{13}{6})$ B．

$[\dfrac{5}{3}$ ，

$\dfrac{19}{6})$ C．

$(\dfrac{13}{6}$ ，

$\dfrac{8}{3}]$ D．

$(\dfrac{13}{6}$ ，

$\dfrac{19}{6}]$ 【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理12（5分）已知

$a=\dfrac{31}{32}$ ，

$b=\cos \dfrac{1}{4}$ ，

$c=4\sin \dfrac{1}{4}$ ，则(　　)
A．

$c > b > a$ B．

$b > a > c$ C．

$a > b > c$ D．

$a > c > b$ 【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理13（5分）设向量

$\overrightarrow{a}$ ，

$\overrightarrow{b}$ 的夹角的余弦值为

$\dfrac{1}{3}$ ，且

$\vert \overrightarrow{a}\vert =1$ ，

$\vert \overrightarrow{b}\vert =3$ ，则

$(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{b}=$ ____．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理14（5分）若双曲线

$y^{2}-\dfrac{x^2}{m^2}=1(m > 0)$ 的渐近线与圆

$x^{2}+y^{2}-4y+3=0$ 相切，则

$m=$ ____．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理15（5分）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为____．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理16（5分）已知

$\Delta ABC$ 中，点

$D$ 在边

$BC$ 上，

$\angle ADB=120^\circ$ ，

$AD=2$ ，

$CD=2BD$ ．当

$\dfrac{AC}{AB}$ 取得最小值时，

$BD=$ ____．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理17（12分）记

$S_{n}$ 为数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和．已知

$\dfrac{2{S_n}}{n}+n=2a_{n}+1$ ．
（1）证明：

$\{a_{n}\}$ 是等差数列；
（2）若

$a_{4}$ ，

$a_{7}$ ，

$a_{9}$ 成等比数列，求

$S_{n}$ 的最小值．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理18（12分）在四棱锥

$P-ABCD$ 中，

$PD\bot$ 底面

$ABCD$ ，

$CD//AB$ ，

$AD=DC=CB=1$ ，

$AB=2$ ，

$DP=\sqrt{3}$ ．
（1）证明：

$BD\bot PA$ ；
（2）求

$PD$ 与平面

$PAB$ 所成的角的正弦值．

【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理19（12分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用

$X$ 表示乙学校的总得分，求

$X$ 的分布列与期望．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理20（12分）设抛物线

$C:y^{2}=2px(p > 0)$ 的焦点为

$F$ ，点

$D(p,0)$ ，过

$F$ 的直线交

$C$ 于

$M$ ，

$N$ 两点．当直线

$MD$ 垂直于

$x$ 轴时，

$\vert MF\vert =3$ ．
（1）求

$C$ 的方程；
（2）设直线

$MD$ ，

$ND$ 与

$C$ 的另一个交点分别为

$A$ ，

$B$ ，记直线

$MN$ ，

$AB$ 的倾斜角分别为

$\alpha$ ，

$\beta$ ．当

$\alpha -\beta$ 取得最大值时，求直线

$AB$ 的方程．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理21（12分）已知函数

$f(x)=\dfrac{e^x}{x}-\ln x+x-a$ ．
（1）若

$f(x)\geqslant 0$ ，求

$a$ 的取值范围；
（2）证明：若

$f(x)$ 有两个零点

$x_{1}$ ，

$x_{2}$ ，则

$x_{1}x_{2} < 1$ ．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理22[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
（10分）在直角坐标系

$xOy$ 中，曲线

$C_{1}$ 的参数方程为

$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{2+t}{6},\\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.(t$ 为参数），曲线

$C_{2}$ 的参数方程为

$\left\{{\left.\begin{array}{l}{x=-\dfrac{2+s}{6},}\\ {y=-\sqrt{s}}\end{array}\right.}\right.(s$ 为参数）．
（1）写出

$C_{1}$ 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，

$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

$C_{3}$ 的极坐标方程为

$2\cos \theta -\sin \theta =0$ ，求

$C_{3}$ 与

$C_{1}$ 交点的直角坐标，及

$C_{3}$ 与

$C_{2}$ 交点的直角坐标．【答案详解】

2022年高考数学甲卷-理23[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知

$a$ ，

$b$ ，

$c$ 均为正数，且

$a^{2}+b^{2}+4c^{2}=3$ ，证明：
（1）

$a+b+2c\leqslant 3$ ；
（2）若

$b=2c$ ，则

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\geqslant 3$ ．【答案详解】

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