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2022年高考数学甲卷-理12

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（5分）已知

$a=\dfrac{31}{32}$ ，

$b=\cos \dfrac{1}{4}$ ，

$c=4\sin \dfrac{1}{4}$ ，则(　　)
A．

$c > b > a$ B．

$b > a > c$ C．

$a > b > c$ D．

$a > c > b$
分析：构造函数

$f(x)=\cos x+\dfrac{1}{2}{x}^{2}-1$ ，

$(0 < x < 1)$ ，可得

$\cos \dfrac{1}{4} > \dfrac{31}{32}$ ，即

$b > a$ ，利用三角函数线可得

$\tan x > x$ ，即

$\tan \dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{4}$ ，即

$\dfrac{\sin \dfrac{1}{4}}{\cos \dfrac{1}{4}} > \dfrac{1}{4}$ ，可得

$c > b$ ．
解答：解：设

$f(x)=\cos x+\dfrac{1}{2}{x}^{2}-1$ ，

$(0 < x < 1)$ ，则

$f\prime (x)=x-\sin x$ ，
设

$g(x)=x-\sin x(0 < x < 1)$ ，

$g\prime (x)=1-\cos x > 0$ ，
故

$g(x)$ 在

$(0,1)$ 单调递增，即

$g(x) > g(0)=0$ ，
即

$f\prime (x) > 0$ ，故

$f(x)$ 在

$(0,1)$ 上单调递增，
所以

$f(\dfrac{1}{4}) > f(0)=0$ ，可得

$\cos \dfrac{1}{4} > \dfrac{31}{32}$ ，故

$b > a$ ，
利用三角函数线可得

$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$ 时，

$\tan x > x$ ，

$\therefore \tan \dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{4}$ ，即

$\dfrac{\sin \dfrac{1}{4}}{\cos \dfrac{1}{4}} > \dfrac{1}{4}$ ，

$\therefore 4\sin \dfrac{1}{4} > \cos \dfrac{1}{4}$ ，故

$c > b$ ．
综上：

$c > b > a$ ，
故选：

$A$ ．
解答：本题考查了三角函数不等式的证明与应用，考查了运算能力，属难题．．

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